每日一题[1870]对称换元

已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的模分别为 $2,\sqrt 3,1$，且 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=5$，则 $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ 与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 的夹角的余弦的最小值等于_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 5}{15}$．

解析    根据题意，有

$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c +\overrightarrow c^2=5\implies \overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-4=\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c,$$ 设 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=m$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=n$，则 $$m^2+n^2=2\overrightarrow a^2+2\overrightarrow b^2=14,$$ 且 $$-m\leqslant \dfrac{m^2-n^2}4-4\leqslant m\iff -m\leqslant \dfrac{2m^2-14}4-4\leqslant m\iff 3\leqslant m\leqslant 5,$$ 考虑到 $m,n\in\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$，可得 $m$ 的取值范围是 $\left[3,2+\sqrt 3\right]$，且所求余弦 $$\cos\theta=\dfrac{\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\cdot \left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|\cdot\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|}=\dfrac{1}{mn}=\dfrac{m^2+n^2}{14mn}=\dfrac{\dfrac mn+\dfrac nm}{14}\geqslant \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt 5}+\dfrac{\sqrt 5}3}{14}=\dfrac{\sqrt 5}{15},$$ 等号当 $m=3$ 且 $n=\sqrt 5$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 5}{15}$．