每日一题[1662]构造图形

若函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-6y+9}+\sqrt{x^2+y^2+2\sqrt 3x+3}+\sqrt{x^2+y^2-2\sqrt 3x+3}$，则 $f(x,y)$ 的最小值是（       ）

A．$3+2\sqrt 3$

B．$2\sqrt 3+2$

C．$6$

D．$8$

答案    C．

解析    令 $A(0,3), B(-\sqrt 3,0), C(\sqrt 3, 0), P(x,y)$，则

$$f(x,y)=|PA|+|PB|+|PC|,$$ 注意到 $\angle ABO = \angle BAC = \angle ACO = 60^\circ$，所以点 $D(0,1)$ 是 $\triangle ABC$ 的费马点，所以 $f(x,y)$ 的最小值在 $P$ 为 $D$ 时取到，最小值为 $$|DA|+|DB|+|DC|=6.$$