每日一题[1308]左冲右突

已知 $a,b>0$，则 $m=\dfrac{a^2}{2a+4b}+\dfrac{2b^2+4}{ab+2}$ 的最小值为_______．

答案    $2$．

解析   

改写问题    已知 $a,b>0$，求 $m=\dfrac{a^2}{2a+2b}+\dfrac{b^2+8}{ab+4}$ 的最小值．

情形一    $2a+2b\geqslant ab+4$．此时\[m\geqslant\dfrac{a^2+b^2+8}{2a+2b}=\dfrac{(a^2+4)+(b^2+4)}{2a+2b}\geqslant 2,\]等号当 $a=b=2$ 时取得．

情形二    $2a+2b\leqslant ab+4$．此时\[m\geqslant \dfrac{a^2+b^2+8}{ab+4}\geqslant 2,\]等号当 $a=b=2$ 时取得．

综上所述，所求最小值为 $2$．