每日一题[1191]居中对齐

方程 $\left(x^{2018}+1\right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2016}\right)=2018x^{2017}$ 的实数解个数为_______．

east-ep-a10-13466295

解    $1$．

根据题意，有 $$1+x^2+x^4+\cdots+x^{2016}+x^{2018}+x^{2020}+x^{2022}+\cdots+x^{4034}=2018x^{2017},$$ 于是 $$x^{-2017}+x^{-2015}+\cdots+x^{-1}+x^1+x^3+x^5+\cdots+x^{2017}=2018,$$ 根据均值不等式有 $$x^{-2017}+x^{-2015}+\cdots+x^{-1}+x^1+x^3+x^5+\cdots+x^{2017}\geqslant 2018,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，因此所求方程的实数解个数为 $1$，且该实数解为 $x=1$．