征解问题[16] 递推数列

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1. Oloid说：

   2020年3月14日 下午1:41

   由已知可得$(n+2)a_{n+1}=na_{n}+2(n+1)^{2r}$，所以
   $(n+1)(n+2)a_{n+1}=n(n+1)a_{n}+2(n+1)^{2r+1}$,
   构造新数列$\{b_{n}\}$,其中$b_{n}=n(n+1)a_{n}$,则$b_{1}=2$,
   以及$b_{n+1}-b_{n}=2(n+1)^{2r+1}$,所以
   $b_n=b_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})=2(1+2^{2r+1}+3^{2r+1}+\cdots+n^{2r+1})$
   因此$b_n\in\mathbb{N}$，以及
   $\begin{align*}
   b_{n}&=2n^{2r+1}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\bigg[k^{2r+1}-(n-k)^{2r+1}\bigg]\\
   &=2n^{2r+1}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\bigg[n^{2r+1}-
   \binom{2r+1}{1}n^{2r}k+
   \binom{2r+1}{2}n^{2r-1}k^2-\cdots+
   \binom{2r+1}{2r}n\cdot\,\!k^{2r}\bigg]\\
   \end{align*}$
   所以$n\mid{b_{n}}$
   又因为
   $\begin{align*}
   b_{n}&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\bigg[k^{2r+1}+(n+1-k)^{2r+1}\bigg]\\
   &=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\bigg[(n+1)^{2r+1}-
   \binom{2r+1}{1}(n+1)^{2r}k+
   \binom{2r+1}{2}(n+1)^{2r-1}k^2-\cdots+
   \binom{2r+1}{2r}(n+1)k^{2r}\bigg]\\
   \end{align*}$
   所以$\,(n+1)\mid{b_{n}}$，故$\,n(n+1)\mid{b_{n}}$,
   从而原命题得证。

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2. Xu Jingyi说：

   2015年7月30日 下午7:58

   请问这个\(r\) 是怎么确定的？当 \(r=2\) 时 \(a_2=\dfrac{163}{3}\notin \mathbb{N}\).

   （感觉本站公式渲染略慢……用的什么插件呢？）

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   • Xu Jingyi说：

     2015年7月30日 下午8:00

     TAT 并不是很懂怎么调用…… $a_2=\frac{163}{3}\notin \mathbb{N}$

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   • 意琦行说：

     2015年7月30日 下午8:43

     用的mathjax，如果感觉慢，可能是下载js文件或者CPU性能导致的．macbook 12" 以及 iphone5s上表现良好．

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