每日一题[186] 规划问题

2015年高考浙江卷理科数学第14题：

若实数\(x,y\)满足\(x^2+y^2\leqslant 1\)，则\(\left|2x+y-2\right|+\left|6-x-3y\right|\)的最小值是_______．

正确答案是\(3\)．

由于\(\left|x+3y\right|\leqslant \sqrt{10}\cdot\sqrt{x^2+y^2}<6\)，于是原式等于\[\left|2x+y-2\right|+6-x-3y=\begin{cases}x-2y+4,&2x+y-2\geqslant 0,\\-3x-4y+8,&2x+y-2<0.\end{cases}\]

直线\(2x+y-2=0\)将可行域\(x^2+y^2\leqslant 1\)分割为两个弓形，其中\(A(1,0)\)，\(B\left(\dfrac 35,\dfrac 45\right)\)．对两个弓形分别进行线性规划可得取值范围分别为\([3,5]\)以及\((3,13]\)，因此所求代数式的取值范围为\([3,13]\)，最小值为\(3\)．

注    2015年8月7日补记代数变形的作法．

注意到\[\begin{split}\left|2x+y-2\right|+\left|6-x-3y\right|&\geqslant \left|(2x+y-2)-(6-x-3y)\right|\\&=\left|3x+4y-8\right|\\&\geqslant 8-\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\&=3,\end{split}\]其中用到了柯西不等式，等号当\(x=\dfrac 35\)，\(y=\dfrac 45\)时可以取得．因此所求代数式的最小值为\(3\)．