2015年高考江苏卷第19题（导数大题）：
已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+b\)（\(a,b\in\mathcal R\)）．
（1）试讨论\(f(x)\)的单调性；
（2）若\(b=c-a\)（实数\(c\)是与\(a\)无关的常数），当函数\(f(x)\)有三个不同的零点时，\(a\)的取值范围恰好是\(\left(-\infty,-3\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right)\cup\left(\dfrac 32,+\infty\right)\)，求\(c\)的值．
（1）解 根据已知有\[f'(x)=3x^2+2ax,\]于是
情形1 当\(a=0\)时，\(f(x)\)在\(\mathcal R\)上单调递增；
情形2 当\(a<0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)和\(\left(-\dfrac {2a}3,+\infty\right)\)上单调递增，在\(\left(0,-\dfrac{2a}3\right)\)上单调递减；
情形3 当\(a>0\)时，\(f(x)\)在\(\left(-\infty,-\dfrac{2a}3\right)\)和\((0,+\infty)\)上单调递增，在\(\left(-\dfrac{2a}3,0\right)\)上单调递减．
（2）解 函数\(f(x)\)有三个不同零点等价于\(f(x)\)的极大值与极小值异号，即\[f(0)\cdot f\left(-\dfrac{2a}3\right)<0,\]也即\[(c-a)\left(\dfrac{4}{27}a^3+c-a\right)<0,\]整理得\[(a-c)\left(a^3-\dfrac{27}4a+\dfrac {27}4c\right)>0.\]
该不等式的解为\(\left(-\infty,-3\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right)\cup\left(\dfrac 32,+\infty\right)\)，于是对应的四次不等式为\[(a+3)(a-1)\left(a-\dfrac 32\right)^2>0,\]对比系数解得\[c=1,\]因此所求的\(c\)的值为\(1\)．