Math173

已知实数 $x,y$ 满足 $\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+4}-y\right)=2$，则 $4^x+2^{y-1}$ 的最小值为_____．

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小申家里添置了一只新油壶，如图所示．该油壶的瓶身是一个底面直径为 $6.4~{\rm cm}$，高 $16~{\rm cm}$ 的圆柱体（不计厚度），瓶内装有 $12.1~{\rm cm}$ 高的油．其壶嘴长度为 $13.4~{\rm cm}$（不计体积），且壶嘴与瓶身的夹角为 $30^{\circ}$，壶嘴的底部距离底面的高度为 $3~{\rm cm}$．现将油壶从壶底一端缓慢倾斜，当油刚好从壶嘴流出时，油壶的最小倾斜角度为_______（精确到 $0.01^{\circ}$）．

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2026年上海春季高考第20题（解析几何大题）：

已知双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}2-\dfrac{y^2}2=1$，过点 $M(m,0)$ 的直线 $l$ 与 $\Gamma$ 交于 $A, B$ 两点．

1、求双曲线 $\Gamma$ 的离心率；

2、若 $A(\sqrt 3,1)$，且 $B$ 是线段 $AM$ 的中点，$A,B$ 均在双曲线右支上，求直线 $l$ 的斜率；

3、设 $m>0$，双曲线 $\Gamma$ 的左、右焦点分别为 $F_1 , F_2$，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A^{\prime}$．若 $\overrightarrow{F_1 A^{\prime}}\cdot\overrightarrow{F_2 B}=0$，求实数 $m$ 的取值范围．

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已知数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为严格单调递增的正整数数列，$\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 的子集有 $2^n$ 个，分别计算每个子集的元素和得到 $S_1, S_2, \cdots, S_{2^n}$（规定空集元素和为 $0$），已知 $S_1<S_2<\cdots<S_{2^n}$．

1、求 $S_{2^n}$ 的最小值．

2、求 $S_1, S_2, \cdots, S_{2^n}$ 方差的最小值．

3、求证：$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2 \geqslant \dfrac{4^n-1}{3}$．

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已知函数 $f(x)=\ln ^2 x+a x^2+b x, x>0$．

1、当 $a=0$，$b=2 \mathrm{e}$ 时，证明：$f(x) \geqslant 3$；

2、若存在 $a\in\mathbb R$，使得函数 $f(x)$ 有 $3$ 个不同的极值点 $r, s, t$（$r<s<t$）．

① 求实数 $b$ 的取值范围；

② 证明：$f(s)>-\dfrac{5}{4}$．

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2025年高考全国I卷19题

设函数 $f(x)=5 \cos x-\cos (5 x)$．

1、求函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值；

2、给定 $\theta \in(0, \pi)$，$a$ 为给定实数，证明：存在 $y \in[a-\theta, a+\theta]$，使得 $\cos y \leqslant \cos \theta$；

3、若存在 $\varphi\in\mathbb R$，使得对任意 $x$，都有 $5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b$，求 $b$ 的最小值．

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已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）与平行于 $x$ 轴的动直线交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 左侧，$F$ 为双曲线 $E$ 的左焦点，延长 $B F$ 至点 $C$，使 $|A F|=|F C|$，连接 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$，若 $|F C|=3|F D|$，则该双曲线的离心率为（          ）

A．$\sqrt{2}$

B．$\sqrt{3}$

C．$2$

D．$3$

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设直线 $l$ 交椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 于 $P,Q$ 两点，$O$ 为坐标原点且三角形 ${POQ}$ 的面积为 $\dfrac{a b}2$，$ M$ 为线段 $PQ$ 中点．求证：$P,Q$ 的横坐标平方和与纵坐标平方和均为定值，并求 $|OM|\cdot|PQ|$ 的最大值．

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已知 $a\geqslant b\geqslant c>0$，若函数 $f(x)=\ln (2ax^2-bx+c)$ 的值域为 $\mathbb R$，则 $\max\left\{\dfrac a{b+c},\dfrac b{c+a},\dfrac c{a+b}\right\}$ 的最小值为_____．

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已知 $n\geqslant 2$，$a_1,a_2,\cdots,a_{n}\geqslant 0$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2=S$，则 $M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(i\cdot a_i)$ 的最大值为_____，最小值为_____（用 $S$ 和 $n$ 表示）．

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