Math173

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知 $\left|\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\left.\ln \left(1+\sin ^2 x\right)-66 \sqrt[3]{2-\cos x}-1\right)}{x^4}\right|=\dfrac{q}{p}$，$p $ 和 $ q $ 是互素的正整数，则 $ p+q=$_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#19

已知 $n \in \mathbb{N}^{*}$，存在正整数 $a_1, \cdots a_n$，$b_1, \cdots b_n$ 使 $$S(n)=\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2=n,$$ 则 $n$ 的所有可能取值为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#18

已知多项式 $f_n(x)$（$n\in\mathbb N$）满足 $f_0(x)=1$，$f_n(0)=0$（$n\geqslant 1$），且 $$f_{n+1}'(x)=(n+1)f_n(x),$$ 则 $f_{100}(2023)$ 的最后 $2$ 位数是_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#17

已知五位数 $n$ 满足 $2556 \mid\left(n^3-1\right)$，则 $n$ 的各位数字之和的最小值为______．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#16

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2 a_n^2+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则 $\left[2 \lg a_{2023}\right]=$ _____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #15

化简求值：$\dfrac{\tan 96^{\circ}-\tan 12^{\circ}\left(1+\dfrac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}{1+\tan 96^{\circ} \tan 12^{\circ}\left(1+\dfrac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}=$_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #14

已知 $\left\{a_n\right\}$ 有 $a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{(1-\sqrt{2})^{n+1} a_n+\sqrt{2}+1}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=$ _____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #13

已知 $a \in \mathbb{R}$，$\theta \in[0,2 \pi)$，复数 $z_1=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$，$z_2=\sin \theta+\mathrm{i} \cos \theta$，$z_3=a(1-\mathrm{i})$，则满足 $z_1, z_2, z_3$ 成等比数列的 $(a, \theta)$ 的个数为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #12

下列命题正确的是（       ）

A．不存在自然数集合到有理数集合的双射

B．不存在有理数集合到实数集合的双射

C．不存在实数集合到整数集合的双射

D．以上命题均不正确

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #11

设复数 $a, b, c$ 满足 $|a|^2+|b|^2+|c|^2=1$，则 $f=a b\left(a^2-b^2\right)+b c\left(b^2-c^2\right)+c a\left(c^2-a^2\right)$ 的最大值为_____．

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