2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版)#17
已知五位数 $n$ 满足 $2556 \mid\left(n^3-1\right)$,则 $n$ 的各位数字之和的最小值为______.
解析 因为 $2556=2^2 \cdot 3^2 \cdot 71^1$,所以 \[\begin{split} 2556 \mid n^3-1 & \iff\begin{cases} 4\mid n^3-1,\\ 9\mid n^3-1,\\ 71\mid n^3-1,\end{cases} \iff \begin{cases} n^3\equiv 1\pmod 4,\\ n^3\equiv 1\pmod 9,\\ n^3\equiv 1\pmod {71},\end{cases}\iff \begin{cases} n\equiv 1\pmod 4,\\ n\equiv 1\pmod 3,\\ n\equiv 1\pmod {71}^{[1]},\end{cases}\end{split}\] 根据中国剩余定理,有\[n\equiv 1\pmod {4\cdot 3\cdot71}\iff n\equiv 1\pmod{852}.\]记 $n=\overline{abcde}$ 在十进制下的各位数字之和为 $S(n)$,由于 $n\equiv 1\pmod 3$,所以 $S(n)\equiv 1\pmod 3$.由于 $n\equiv 1\pmod 4$,于是\[\overline{de}\equiv 1\pmod 4.\]而 $71\cdot14=1000-6$,于是\[6\cdot \overline{ab}+\overline{cde}\equiv 1\pmod{71}\implies -11a+6b+29c+10d+e\equiv 1\pmod {71}.\]
若 $S(n)=1$,则 $n=10000$,不符合题意;
若 $S(n)=4$,则 $e=1,3$.若 $e=3$,则 $n=10003$,不符合题意;若 $e=1$,则\[-11a+6b+29c+10d=71k,k\in\mathbb Z\]由于 $a\geqslant 1$,于是 $b+c+d\leqslant 2$,从而\[12\leqslant 6b+29c+10d\leqslant 58\implies 6b+29c+10d=11a,\]不符合题意;
若 $S(n)=7$,则考虑 $e=1$,且\[6b+29c+10d=71+11a,\]取 $c=3$,$a=2$,$b=1$,$d=0$ 即可.
综上所述,$n$ 的各位数字之和的最小值为 $7$,此时 $n=21301$.
备注
$[1]$ 记 $\delta_p(n)$ 是使得 $n^k\equiv 1\pmod p$ 的最小正整数,则根据费马小定理,有\[n^{70}\equiv 1\pmod {71}\implies \delta_{71}(n)\mid 70,\]又 $n^3\equiv 1\pmod {71}$,于是 $\delta_{71}(n)\mid 3$,因此 $\delta_{71}(n)=1$.