2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版) #14
已知 $\left\{a_n\right\}$ 有 $a_1=\dfrac{1}{2}$,$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{(1-\sqrt{2})^{n+1} a_n+\sqrt{2}+1}$($n \in \mathbb N^{\ast}$),则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=$ _____.
答案 $\sqrt 2-1$.
解析 记 $p=1-\sqrt 2$,$q=1+\sqrt 2$,$b_n=\dfrac1{a_n}$,则 $p+q=2$,$pq=-1$,且\[a_{n+1}=\dfrac{a_n}{p^{n+1}a_n+q}\implies p^{n+1}=b_{n+1}-qb_n,\]于是\[b_{n+2}-qb_{n+1}=p(b_{n+1}-qb_n)\implies b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n,\]其中 $b_1=2$,$b_2=5$,进而根据求数列通项的特征根法,可得\[b_n=\dfrac{q^{n+1}-p^{n+1}}{2\sqrt2}\implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{b_n}=q,\]因此\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{b_n}}=\dfrac 1q=\sqrt 2-1.\]