2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版)#16
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$,$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2 a_n^2+1}$($n\in\mathbb N^{\ast}$),则 $\left[2 \lg a_{2023}\right]=$ _____.
答案 $-4$.
解析 根据题意,有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=2a_n+\dfrac{1}{a_n}\implies \dfrac{1}{a_{n+1}^2}=4a_n^2+4+\dfrac{1}{a_n^2}\implies \dfrac{1}{a_{n+1}^2}-\dfrac{1}{a_n^2}>4\implies \dfrac{1}{a_n^2}\geqslant 4n-3,\]进而\[\dfrac{1}{a_{n+1}^2}-\dfrac{1}{a_n^2}=4a_n^2+4\leqslant \dfrac{4}{4n-3}+4\implies \dfrac{1}{a_n^2}\leqslant 4n+1+\ln(4n-7),n\geqslant 2,\]这样就有当 $n\geqslant 2$ 时,对 $a_n$ 取值的估计.
当 $n=2023$ 时,有\[8089\leqslant \dfrac{1}{a_{2023}^2}\leqslant 8093+\ln 8085,\]取对数,可得\[3<\lg 8089\leqslant -2\lg a_{2023}\leqslant \lg(8093+\ln 8085)<4,\]于是 $[2\lg a_{2023}=-4$.