2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#5
已知 $a,b,c\geqslant 0$，$f(a, b, c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$，则（ ）
A．$f(a,b,c)$ 的最大值为 $\dfrac{3}{\sqrt 2}$
B．$f(a,b,c)$ 的最小值为 $2$
C．$f(a,b,c)$ 没有最大值
D．$f(a,b,c)$ 没有最小值
每日一题[3524]抛物线的方方面面
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#4
已知过拋物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_1$ 是抛物线在点 $A$ 处的切线，过 $B$ 作直线 $l_1$ 的平行线 $l_2$ 交 $C$ 于点 $D$，交 $y$ 轴于点 $E$．设 $A\left(x_1, y_1\right)$，$B\left(x_2, y_2\right)$，$D\left(x_3, y_3\right)$，则（ ）
A．$x_2+x_3=2 x_1$
B．$|FB|=|FE|$
C．$y_1 y_2=1$
D．$\triangle ABD$ 面积的最小值为 $16$
每日一题[3523]分类计数
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#3
已知点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leqslant 5, y \leqslant 4,~x, y \in \mathbb{N}^{\ast}\right\}$，则由 $S$ 中的点为顶点可以组成的不同的格点三角形的个数为（ ）
A．$1056$
B．$1058$
C．$1060$
D．$1062$
每日一题[3522]规划
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#2
已知正数 $a,b,c$ 满足 $5 a-3 c \leqslant b \leqslant 4 a-c$，$ c \ln b \geqslant a+c \ln c$，则 $\dfrac{b}{a}$ （ ）
A．最大值为 $\dfrac 72$
B．最小值为 $\mathrm e$
C．不存在最大值
D．不存在最小值
每日一题[3521]分类计数
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#1
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(2,1)$，点 $M \in\left\{(x, y) \mid \dfrac{x^2}{200}+\dfrac{y^2}{8} \leqslant 1\right\}$，则满足 $\triangle O A M$ 的面积不大于 $3$ 的整点 $M$ 的个数为（ ）
A．$65$
B．$80$
C．$125$
D．$154$
每日一题[3520]归纳证明
2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#20
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\left[a_n\right]+\dfrac{1}{a_n-[a_n]}$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2024} [a_k]=$ （ ）
A．$2024^2-1$
B．$2024^2$
C．$2024^2+1$
D．以上答案都不对
每日一题[3519]消元配凑
2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#19
在 $\triangle A B C$ 中，当 $m=\sin A+2\sin B+2\sin C$ 取得最大值时，有（ ）
A．$\sin A=\sqrt 3-1$
B．$\cos A=\sqrt 3-1$
C．$\tan A=\sqrt 3-1$
D．以上答案都不对
每日一题[3518]解构图形
2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#18
在 $\triangle A B C$ 中，若 $D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C$，$A B=A D=3$，$C D= 2$，则 $\triangle A B C$ 的周长位于区间（ ）
A．$(9,10)$
B．$(10,11)$
C．$(11,12)$
D．以上答案都不对
每日一题[3517]步步拆分
2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#17
在 $\triangle A B C$ 中，若 $D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C$，$\triangle A D C$ 的内心与 $\triangle A B C$ 的外心重合，则 $\angle C=$ （ ）
A．$\dfrac{\pi}7$
B．$\dfrac{\pi}6$
C．$\dfrac{\pi}5$
D．以上答案都不对
每日一题[3516]转移线段
2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#16
在 $\triangle A B C$ 中，若 $O$ 为形内一点，满足 $\angle B O C=2 \angle B A C$，直线 $O C$ 与线段 $A B$ 交于 $D$，且 $O B=O C=3$，$O D=2$，则 $DA \cdot DB=$ （ ）
A．$4$
B．$5$
C．$6$
D．以上答案都不对