2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#15
某无限大的城市内的所有街道都是正东西或南北向的直线，街道的交叉点称为格点，某人从某个格点出发，每个格点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了 $100$ 次，则向右转的次数可以是（ ）
A．$97$
B．$98$
C．$102$
D．$104$
每日一题[3534]主动出击
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#14
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则（ ）
A．$\left[a_{100}\right]=20$
B．$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$
C．$\left[a_{9000}\right]=30$
D．$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
每日一题[3533]层级跃迁
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#13
从正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的顶点 $A$ 出发，每一次移动都等可能移动到正方体的相邻顶点，记移动 $n$ 步后回到 $A$ 点的概率为 $p_n$，则（ ）
A．$p_{10}=\dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{3^9}\right)$
B．$p_{10}=\dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^9}\right)$
C．$p_{2n-1}=0$
D．$p_{n+2}=\dfrac 19p_n+\dfrac 29$
每日一题[3532]投影数量
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#12
已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$，点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}\right|=2$，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ （ ）
A．最小值为 $4-2 \sqrt{2}$
B．最大值为 $2+2 \sqrt{2}$
C．最小值为 $2-2 \sqrt{2}$
D．最大值为 $4+2 \sqrt{2}$
每日一题[3531]必要条件入手
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#11
若复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 且 $z^n=z+\sqrt{2}$，则正整数 $n$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
每日一题[3530]反函数
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#10
若实数 $a,b$ 满足 $a+\mathrm e^a=b+\ln b=4$，则（ ）
A．$a b>\mathrm e$
B．$a b<4$
C．$a\ln b+b\ln a>1$
D．$a \ln b+b \ln a<4 \ln 2$
每日一题[3529]根系关系
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#9
$x^3+p x^2+qx+r=0$ 在 $(0,2)$ 有三个实数解，则 $p+q+r$ 可能的取值为（ ）
A．$-2$
B．$-\dfrac 32$
C．$-1$
D．$-\dfrac 12$
每日一题[3528]必要条件入手
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#8
已知集合 $\{\cos \alpha, \cos 2 \alpha, \cos 3 \alpha\}=\{\sin \alpha, \sin 2 \alpha, \sin 3 \alpha\}$，则 $\alpha$ 可以是（ ）
A．$\dfrac{\pi}{8}$
B．$-\dfrac{3 \pi}{8}$
C．$\dfrac{2 \pi}{3}$
D．$-\dfrac{\pi}{3}$
每日一题[3527]映射计数
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#7
圆上 $ 7$ 点两两连接所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为（ ）
A．$\dfrac 27$
B．$\dfrac 13$
C．$\dfrac 37$
D．$\dfrac 12$
每日一题[3526]谁主沉浮
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#6
已知函数 $f(x)=\dfrac{x-1}{\mathrm e^x}$，$g(x)=|f(x)+m|$，以下结论正确的有（ ）
A．若 $f(x)=a$ 有两个解，则 $0<a<\dfrac{1}{\mathrm e^2}$
B．若 $f(x)=a$ 有两个解 $x_1, x_2$，则 $x_1+x_2>4$
C．对任意 $m\in\mathbb R$，函数 $g(x)$ 都有最小值
D．存在 $m\in\mathbb R$，使得函数 $g(x)$ 都有最大值