Math173

1、已知\(a,b,c>0\)且\(a^2+b^2+c^2=1\)，则\(\dfrac{(c+1)^2}{abc}\)的最小值为________．

2、已知\(\forall x\in\mathcal Z,\left[px+q\right]=ax+b\)，其中\(a,b\)为非零常数，\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．则实数\(q\)的取值范围是_______．

3、已知圆\(x^2+y^2=4\)上一点\(A(2,0)\)，\(B\)、\(C\)为圆上动点，\(\angle BAC=60^\circ\)，则三角形\(ABC\)的垂心的轨迹方程为_______．

4、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(a_2=6\)，\(3S_n=(n+1)a_n+n(n+1)\)．

（1）求\(a_1\)，\(a_3\)；

（2）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式；

（3）已知数列\(\left\{b_n\right\}\)的通项公式是\(b_n=\sqrt{a_n}\)，\(c_n=b_{n+1}-b_n\)．试判断数列\(c_n\)是否是单调数列，并证明：\(\forall n\in \mathcal N^*,1<c_n\leqslant \sqrt{6}-\sqrt{2}\)．

5、椭圆\(\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1\)，直线\(y=\dfrac{1}{2}x\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，\(C\)、\(D\)为椭圆上异于\(A\)、\(B\)的任意两点，\(AC\)交\(BD\)于\(M\)，\(AD\)交\(BC\)于\(N\)．求证：直线\(MN\)的斜率为定值．

6、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的首项\(a_1=a\)（\(a\neq 1\)），且满足递推式\[a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{2\left(a_n-1\right)}.\]求\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．

7、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的各项均为正数，它的前\(n\)项之和\[S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,\]前\(n\)项的倒数之和\[T_n=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}.\]对于任意的正整数\(n\)，均有\[\left(2-S_n\right)\left(1+T_n\right)=2.\]

（1）求\(a_1\)，\(a_2\)的值；

（2）设\(b_n=2-S_n\)，求证：数列\(\left\{b_n\right\}\)是等比数列；

（3）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．

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 1、已知函数\(f(x)=\begin{cases}\ln x,&x\geqslant 1,\\\dfrac{1}{\mathrm e}(x+2)(x-a),&x<1\end{cases}\)的图象（其中\(a\)为常数，\(\rm e\)为自然对数的底数）在\(A({\rm e},1)\)处的切线与该函数的图象恰好有三个交点，则实数\(a\)的取值范围是_______．

2、已知函数\(f(x)=x^2+{\rm e}^x-\dfrac 12\)，\(x<0\)与\(g(x)=x^2+\ln{(x+a)}\)的图象存在关于\(y\)轴对称的两点，则\(a\)的取值范围是_______．

3、某马拉松运动员用了\(2.2\)h跑完比赛的\(42.195\)km全程（到终点停止），则对giant运动员在整个赛程中用\(19\)km/h速度跑的时刻个数判断一定正确的是（       ）

A．至多1个

B．至少2个

C．至多3个

D．无数个

4、在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知向量\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\)满足：\(\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=1\)，\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0\)，点\(Q\)满足\(\overrightarrow{OQ}=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\)，曲线\(C:\left\{P\left|\overrightarrow{OP}=\overrightarrow a\cos\theta+\overrightarrow b\sin\theta,0\leqslant\theta <2\pi\right.\right\}\)，区域\(\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}\)．若\(C\cap\Omega\)为两段分离的曲线，则（       ）

A．\(1<r<R<3\)

B．\(1<r<3\leqslant R\)

C．\(r\leqslant 1<R<3\)

D．\(1<r<3<R\)

5、已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(M\)为线段\(D_1B_1\)上的点，点\(N\)为线段\(AC\)上的点，记\(MN\)与平面\(ABB_1A_1\)所成角为\(\theta\)，那么当\(MN\)与线段\(DB_1\)相交时，\(\tan\theta\)的最大值是_______．

6、已知\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆\(C_1:\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\)（\(a>b>0\)）的上下焦点，\(F_1\)是抛物线\(C_2:x^2=4y\)的焦点，点\(M\)是\(C_1\)与\(C_2\)在第二象限的交点，且\(MF_1=\dfrac{5}{3}\)．

（1）试求椭圆\(C_1\)的方程；

（2）与圆\(x^2+(y+1)^2=1\)相切的直线\(l:y=k(x+t)\)）交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，若椭圆上一点\(P\)满足\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OP}\)，求实数\(\lambda\)的取值范围．

7、若集合\(A\)具有以下性质：

① \(o\in A\)，\(1\in A\)；

② 若\(x,y\in A\)，则\(x-y\in A\)；

③ 若\(x\neq 0\)，\(x\in A\)，则\(\dfrac 1x\in A\)．

则称集合\(A\)为“好集”．

（1）若集合\(A\)为“好集”，求证：若\(x,y\in A\)，则\(x+y\in A\)；

（2）若集合\(A\)为“好集”，求证：若\(x,y\in A\)，则\(xy\in A\)．

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1、设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)．如果存在非零常数\(T\)，对任意\(x\in D\)，都有\(f(x+T)=T\cdot f(x)\)，则称函数\(y=f(x)\)是“似周期函数”．非零常数\(T\)为函数\(y=f(x)\)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

① 如果“似周期函数”\(y=f(x)\)的“似周期”为\(-1\)，那么它是以\(2\)为周期的周期函数；

② 函数\(f(x)=x\)是“似周期函数”；

③ 函数\(f(x)=2^{-x}\)是“似周期函数”；

④ 如果函数\(f(x)=\cos{2\omega x}\)是“似周期函数”，那么\(\omega =k\pi,k\in\mathcal Z\)．

其中，真命题的序号是_______．

2、已知圆\(C\)的圆心\(C\)在抛物线\(x^2=4y\)上移动且过\(A(0,2)\)．若圆\(C\)与\(x\)轴交于\(M\)、\(N\)两点，当\(\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{AN}{AM}\)取最大值时，圆\(C\)的方程为_______．

3、已知自然数\(a,b,c,d,e\)满足\(1\leqslant a<b<c<d<e\leqslant 100\)，则\(a+\dfrac bc+\dfrac de\)取得最小值时，\(a+b+c+d+e=\)_______．

4、在直角三角形\(ABC\)中，\(C\)为直角，\(AC=3\)，\(BC=4\)，线段\(EF\)的端点\(E\)、\(F\)分别在边\(BC\)和\(BA\)上，且分三角形\(ABC\)为面积相等的两个部分，则线段\(EF\)长度的最小值为_______．

5、已知三个正数\(a,b,c\)满足\(a\leqslant b+c\leqslant 3a\)，\(3b^2\leqslant a(a+c)\leqslant 5b^2\)，则\(\dfrac{b-2c}{a}\)的最小值是_______．

6、已知\(a,b\)为正实数，且\(a+b=2\)，则\(\dfrac{a^2+2}a+\dfrac{b^2}{b+1}\)的最小值为_______．

7、已知函数\(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x-1}\)，\(g(x)=\dfrac{k}{x}\)（\(k\in \mathcal N^*\)），若对任意的\(c>1\)，存在实数满足\(0<a<b<c\)，使得\(f(c)=f(a)=g(b)\)，则\(k\)的最大值为_______．

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