已知函数\(f(x)\)的定义域为\(\mathcal R\)，且满足：
① \(f(1)=2\)；
② \(\forall x,y\in\mathcal R,f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)\)；
③ \(f(x)\)在区间\([0,1]\)上单调递增．
（1）求\(f(0)\)，\(f(-1)\)；
（2）求\(f(x)\)的零点；
（3）解不等式：\(f(x)>1\)．
1、过抛物线\(x^2=2py\)（\(p>0\)）的焦点作斜率为\(1\)的直线与该抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，\(A\)、\(B\)在\(x\)轴上的正投影分别为\(D\)、\(C\)，若梯形\(ABCD\)的面积为\(12\sqrt 2\)，则\(p=\)_______．
2、方程\(ay=b^2x^2+c\)中的\(a,b,c\in\left\{-3,-2,0,1,2,3\right\}\)，且\(a,b,c\)互不相同，在所有这些方程表示的曲线中，不同的抛物线共有_______条．
3、沿图中的线段移动，且在移动的过程中不允许经过重复的点或线段，则从\(A\)点到\(B\)点共有_______种不同的移动方法．
4、已知函数\(f(x)=3x+a\)和\(g(x)=3x+2a\)的零点都在区间\((b,c)\)内，则\[\dfrac{a^2+2ab+2ac+4bc}{b^2-2bc+c^2}\]的最小值为_______．
5、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若弦过焦点，那么其所对的顶点在准线上．那么此时的阿基米德三角形面积的最小值为_______．（设抛物线的焦点与准线的距离为\(p\)）
6、在平面直角坐标系\(xOy\)中，如果菱形\(OABC\)的边长为\(2\)，点\(B\)在\(y\)轴上，则菱形内（不包括边界）的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是_______．
7、若函数\(f(x)\)满足：集合\(A=\left\{f(n)\left|n\in\mathcal N^*\right.\right\}\)中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数\(f(x)\)是等比源函数．
（1）判断下列函数：
① \(y=x^2\)；
② \(y=\dfrac 1x\)；
③ \(y={\log_2}x\)
中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）判断函数\(f(x)=2^x+1\)是否为等比源函数，并证明你的结论；
（3）证明：对于任意的\(d,b\in\mathcal N^*\)，函数\(g(x)=dx+b\)都是等比源函数．
已知三角形\(ABC\)的顶点\(A(-2,0)\)，\(B(0,4)\)，欧拉线所在的方程为\(l:x+y-2=0\)，则顶点\(C\)的坐标是_______．（注：三角形的欧拉线指以三角形的外心\(O\)和垂心\(H\)为端点的线段，且有\(2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}\)，其中\(G\)为三角形的重心．）
数列\(\left\{a_n\right\}\)，\(\left\{b_n\right\}\)、\(\left\{c_n\right\}\)满足：\[\begin{split}b_n&=a_n-a_{n+2},\\c_n&=a_n+2a_{n+1}+3a_{n+2}.\end{split}\]若数列\(\left\{c_n\right\}\)为等差数列，且\(b_n\leqslant b_{n+1}\)（\(n=1,2,3,\cdots\)），求证：数列\(\left\{a_n\right\}\)是等差数列．
已知\(\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow b\)是非零向量，构造集合\[P=\left\{\overrightarrow p\left|\overrightarrow p=t\overrightarrow a+\overrightarrow b,t\in\mathcal R\right.\right\}.\]记\(P\)中模最小的向量为\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\)．
（1）对于\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)=t\overrightarrow a+\overrightarrow b\)，求\(t\)的值．（用\(\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow b\)来表示）
（2）证明：\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\perp \overrightarrow a\)；
（3）若\(\left|\overrightarrow a_1\right|=\left|\overrightarrow a_2\right|=1\)且\(\langle \overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2\rangle=\dfrac{\pi}3\)．构造向量序列\(\overrightarrow{a_n}=T\left(\overrightarrow a_{n-2},\overrightarrow a_{n-1}\right)\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)，\(n\geqslant 3\)．请直接写出\(\left|\overrightarrow{a_n}\right|\)的值．
已知集合\(S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}\)（\(n\geqslant 3\)），集合\(T\subseteq\left\{\left(x,y\right)\left|x\in S,y\in S,x\neq y\right.\right\}\)且满足\(\forall a_i,a_j\in S\)（\(i,j=1,2,3,\cdots,n,i\neq j\)），\(\left(a_i,a_j\right)\in T\)与\(\left(a_j,a_i\right)\in T\)恰有一个成立．对于\(T\)定义\[d_T(a,b)=\begin{cases}1,(a,b)\in T,\\0,(b,a)\in T,\end{cases}\]以及\[l_T\left(a_i\right)=d_T\left(a_i,a_1\right)+d_T\left(a_i,a_2\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_{i-1}\right)+d_T\left(a_i,a_{i+1}\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_n\right),i=1,2,3,\cdots,n.\]
（1）若\(n=4\)，\(\left(a_1,a_2\right)\)，\(\left(a_3,a_2\right)\)，\(\left(a_2,a_4\right)\in T\)，求\(l_T\left(a_2\right)\)的值及\(l_T\left(a_4\right)\)的最大值；
（2）从\(l_T\left(a_1\right)\)，\(l_T\left(a_2\right)\)，\(\cdots\)，\(l_T\left(a_n\right)\)中任意删去两个数，记剩下的\(n-2\)个数的和为\(M\)．求证：\[M\geqslant \dfrac 12n(n-5)+3.\]
（3）对于满足\(l_T\left(a_i\right)<n-1\)（\(i=1,2,3,\cdots,n\)）的每一个集合\(T\)，集合\(S\)中是否都存在三个不同的元素\(e\)，\(f\)，\(g\)，使得\[d_T\left(e,f\right)+d_T\left(f,g\right)+d_T\left(g,e\right)=3\]恒成立，并说明理由． 继续阅读
已知\(MN\)是过椭圆\(\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}5=1\)的左焦点\(F\)的直线（\(M,N\)在椭圆上），\(A(1,0)\)是椭圆长轴上的一个定点．直线\(MA\)，\(NA\)分别交椭圆于\(P\)、\(Q\)，求证：直线\(PQ\)与直线\(MN\)的斜率之比为定值．
已知\(F\)为椭圆\(\dfrac{x^2}5+y^2=1\)的右焦点，第一象限内的点\(M\)在椭圆上，若\(MF\)与\(x\)轴垂直，直线\(MN\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切于第四象限内的点\(N\)，则\(NF\)的长度为_______．
已知数列\(a,b,c\)成等比数列，\(a,\dfrac{b(b-1)}{2},c\)为等差数列，当\(1<a<3<c<7\)时，\(b\)的取值范围是_______．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\(O_1\)，圆\(O_2\)均与\(x\)轴相切，且圆心\(O_1,O_2\)与原点\(O\)共线，\(O_1,O_2\)两点的横坐标之积为\(5\)．设圆\(O_1\)与圆\(O_2\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，直线\(l:2x-y-8=0\)，则\(P\)到直线\(l\)的距离的最小值为_______．
