Math173

一、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）

1、设\(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，则\(n\)重复合函数\(f_n(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots))=\)_______．

2、设多项式\(p(x)\)满足\(p\left(x^2+1\right)=\left(p(x)\right)^2+1\)和\(p(0)=0\)，则\(p(x)=\)_______.

3、设\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}\)，则极限\(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\)_______.

4、对\(x>0\)，函数\(f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac1x\right)^6-\left(x^6+\dfrac1{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac1x\right)^3+\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)}\)的最小值为_______．

5、假设\(20\)名学生中的每一名学生可从提供的六门课程中选学一门至六门，也可以一门都不选．试判断下列命题是否正确：存在\(5\)名学生和两门课程，使得这\(5\)名学生都选了这两门课，或者都没选，选填“正确”或“否”_______．

二、（本题共14分）

1、若\(a\)为正整数而\(\sqrt a\)不为整数，证明：\(\sqrt a\)为无理数.

2、试证：除\(0,0,0\)外，没有其他整数\(m,n,p\)使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\] 三、（本题共16分） 设\(a,b,c\)为三角形三边之长，\(p=\dfrac{a+b+c}2\),\(r\)为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\]

四、（本题共12分） 证明：设\(m\)是任一正整数，则\(a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}\)不是整数．

五、（本题共18分） 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是\(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}\)(拉马努金式子)，另一个是\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1\)(已知欧拉公式\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha\))．

参考答案

一、填空题

1、\(\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}\)．

2、\(x\)    提示    方程\(p(x)-x=0\)有无数个零点，于是\(p(x)=x\)．

3、\(2\)    提示    裂项为\(\dfrac{2^k}{3^k-2^k}-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\)．

4、\(6\)    提示    函数\(f(x)=3\left(x+\dfrac 1x\right)\)．

5、否    提示    \(6\)门课中选\(3\)门共有\({\rm C}_6^3=20\)种不同的组合，让每个同学分别选一种组合，那么任何两门课同时选和同时不选的同学数均为\(4\)．

二、略    

提示   均用反证法．

三、略    

提示    \(pr=S\)，而\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)．

四、略

提示    设右边的公分母为\[\left[2,3,4,\cdots,2^m\right]=2^m\cdot p,\]其中\(p\)是一个奇数，两边同时乘以公分母，则左边是偶数，而右边为奇数．

注一    利用这个方法可以证明\(\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 1i}\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)且\(n\geqslant 2\)均不是整数．另外，这个方法中从\(2\)的方幂出发也不是必须的．

注二    也可以两边同时乘以\(\dfrac{[2,3,\cdots,2^m]}p\)，其中\(p\)为右边各分母分解质因数后的最大奇素数因子，根据伯特兰-切比雪夫定理，含\(p\)的项唯一，进而即得．

五、\(3:0\)

提示    拉马努金恒等式，注意到\[n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)},\]于是\[\begin{split}3&=\sqrt{1+2\cdot 4}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}\\&=\cdots\end{split}.\]

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注    以下试题均为学生回忆的试题，不能保证真实性和正确性．欢迎读者给出解答，谢谢！

1、函数\(y=\cos\left(\pi x\right),x\in (2013,2014]\)的反函数为_______．

2、如图为某空间几何体的展开图，则该空间几何体共有_______条棱．

3、除\(x=1\)外，圆\(x^2+y^2=1\)与圆\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)的另一条公切线方程为_______．

4、散点\((1.0,0.9)\)，\((2.0,1.9)\)，\((3.0,3.2)\)对应的回归直线方程为_______．

5、\(y=\sin\left(\omega x+\varphi\right)\)与\(y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)的图象关于\(x=-1\)对称，则所有可能的\(\varphi=\)_______．

6、向量\((1,2)\)绕点\((1,1)\)顺时针旋转\(45^\circ\)后所得的向量为_______．

7、\(\left|2x-y\right|+\left|x-2y\right|\leqslant 3\)所表示的平面区域面积为_______．

8、离散型随机变量\(X\)满足：\(E(X)=1\)，\(D(X)=2\)，则\(E\left(X^2\right)=\)_______．

9、圆\(C:x^2+y^2-2x-2y+1=0\)内位于直线\(l:y=x\tan\theta\)下方的面积为\(S\)，其中\(\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)．

（1）求\(S(\theta)\)的表达式；

（2）求函数\(S(\theta)\)与函数\(S'(\theta)\)的单调性；

（3）画出\(S(\theta)\)的草图．

10、证明椭圆的光学性质．

11、已知甲袋中装有\(5\)个红球，乙袋中装有\(5\)个白球．每次从甲、乙两袋中分别随机摸一个球，同时放入对方袋中．\(n\)次操作后，甲袋中红球的个数记为\(X\)．求\(X\)的分布列和数学期望．

说明    文科考生做前5题，理科考生做后5题，每题20分， 共100分．

1、设关于\(x\)的方程\(x^2-ax+2a-2=0\)在区间\(\left[0,\dfrac 32\right]\)内有根，求实数\(a\)的取值范围．

2、设\(a,b,c\)满足\(a+b+c=a^3+b^3+c^3=0\)，\(n\)为任意自然数，求\(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}\)的值．

3、证明：若\(n\)为不小于\(2\)的自然数，\(t\)为实数且\(\sin\dfrac{t}{2}\neq 0\)，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\frac{nt}2}{\sin\frac t2}\right)^2.\]

4、一个等腰梯形的腰和底的长分别为\(\sqrt 2\)和\(3\)，求这个梯形面积的最大值．

5、求出所有实数\(x\)，使得\(\dfrac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5}\)与\(\dfrac{1-x}{1+x}\)同时为整数．

6、顶点为\(A\)的等腰三角形\(ABC\)的角\(B\)的平分线交\(AC\)于\(D\)，已知\(BC=BD+AD\)，求角\(A\)的度数． 7、设\(a,b,c\)是实数，方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)有\(3\)个正根，证明\(2a^3+9c\leqslant 7ab\)，并且等号成立当且仅当这\(3\)个正根相等． 继续阅读 →

一、选择题（原题为选择题）

1、不等式\(\left|x\right|^3-2x^2+1<0\)的解集为_______．

2、在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp ABC\)，\(AC\perp BC\)，\(AC=2\)，二面角\(P-BC-A\)的大小为\(60^\circ\)，三棱锥\(P-ABC\)的体积为\(\dfrac{4\sqrt 6}3\)，则直线\(PB\)与平面\(PAC\)所成的角的正弦值为_______．

3、当实数\(m\)变化时，不在任何直线\(2mx+\left(1-m^2\right)y-4m-4=0\)上的所有点\((x,y)\)形成的图形的面积为_______．

4、已知函数\(f(x)=\begin{cases}\dfrac{2x+1}{x^2},&x<-\dfrac 12,\\\ln\left(x+1\right),&x\geqslant -\dfrac 12,\end{cases}\)函数\(g(x)=x^2-4x-4\)．设\(b\)为实数，若存在实数\(a\)，使\(f(a)+g(b)=0\)，则\(b\)的取值范围是_______．

二、填空题

5、已知\(0<a<1\)，分别在区间\((0,a)\)和\((0,4-a)\)内任取一个数，且取出的两数之和小于\(1\)的概率为\(\dfrac 3{16}\)，则\(a\)的值为_______．

6、设\(\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}\)为平面上夹角为\(\theta(0<\theta\leqslant \dfrac{\pi}{2})\)的两个单位向量，\(O\)为平面上任意一点，当\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}\)时，定义\((x,y)\)为点\(P\)的斜坐标．现有两个点\(A\)，\(B\)的斜坐标分别为\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)，则\(A\)、\(B\)两点的距离为_______．

7、若函数\(y=\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)的图象的对称轴中与\(y\)轴距离最小的对称轴为\(x=\dfrac{\pi}6\)，则实数\(\omega\)的值为_______．

8、已知集合\(A\)、\(B\)满足\(A\cup B=\left\{1,2,3,\cdots,8\right\}\)，\(A\cap B=\varnothing\)．若\(A\)中元素的个数不是\(A\)中的元素，\(B\)中元素的个数不是\(B\)中的元素，则满足条件的所有不同的集合\(A\)的个数为_______．

三、解答题

9、设\(\alpha\in\mathcal R\)，函数\(f(x)=\sqrt 2\sin{2x}\cos{\alpha}+\sqrt 2\cos{2x}\sin{\alpha}-\sqrt 2\cos\left(2x+\alpha\right)+\cos\alpha,x\in\mathcal R\)．

（1）若\(\alpha\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right]\)，求\(f(x)\)在区间\(\left[0,\dfrac{\pi}4\right]\)上的最大值；

（2）若\(f(x)=3\)，求\(\alpha\)与\(x\)的值．

10、已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的两条渐近线的斜率之积为\(-3\)，左右两支分别有动点\(A\)和\(B\)．

（1）设直线\(AB\)的斜率为\(1\)，经过点\(D(0,5a)\)，且\(\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{DB}\)，求实数\(\lambda\)的值；

（2）设点\(A\)关于\(x\)轴的对称点为\(M\)，若直线\(AB\)、\(MB\)分别与\(x\)轴相交于点\(P\)、\(Q\)，\(O\)为坐标原点，证明：\(OP\cdot OQ=a^2\)．

11、已知\(f(x)\)为\(\mathcal R\)上的可导函数，对任意的\(x_0\in\mathcal R\)，有\(0<f'\left(x+x_0\right)-f'\left(x_0\right)<4x\)，\(x>0\)．

（1）对任意的\(x_0\in\mathcal R\)，证明：\(f'\left(x_0\right)<\dfrac{f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{x}\)，\(x>0\)；

（2）若\(\left|f(x)\right|\leqslant 1\)，\(x\in\mathcal R\)，证明：\(\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 4\)，\(x\in\mathcal R\)．

12、已知实数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(\left|a_1\right|=1\)，\(\left|a_{n+1}\right|=q\left|a_n\right|\)，\(n\in\mathcal N^*\)，常数\(q>1\)．对任意的\(n\in\mathcal N^*\)，有\(\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left|a_k\right|}\leqslant 4\left|a_n\right|\)．设\(C\)为所有满足上述条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的集合．

（1）求\(q\)的值；

（2）设\(\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}\in C\)，\(m\in\mathcal N^*\)，且存在\(n_0\leqslant m\)，使\(a_{n_0}\neq b_{n_0}\)．证明：\(\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\neq\sum\limits_{k=1}^m{b_k}\)；

（3）设集合\(A_m=\left\{\left.\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\right|\left\{a_n\right\}\in C\right\}\)，\(m\in\mathcal N^*\)，求\(A_m\)中所有正数之和．

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1、\(5\)个正整数，任意\(4\)个的和构成集合\(\left\{ {44,45,46,47} \right\}\)，求这\(5\)个整数．

2、甲乙两人采用五局三胜制比赛，单局甲获胜的概率为\(p\)且\(p > \dfrac 12\)，甲最终获胜的概率为\(q\)，当\(p\)为何值时\(q - p\)最大？

3、已知\(f(x) = \dfrac {\sqrt 2 }2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin \left( x + \dfrac{\pi }{4}\right) - 2a\sin x + b\)的最大值为\(1\)，最小值为\( - 4\)，求\(a,b\)的值．

4、已知\(f\left( x \right)\)的反函数为\({f^{ - 1}}\left( x \right)\)，\(g\left( x \right)\)的反函数为\({g^{ - 1}}\left( x \right)\)．
（1）求证：\(f\left( {g\left( x \right)} \right)\)的反函数为\({g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)\)；
（2）若\(f\left( {g\left( x \right)} \right)\)为奇函数，求证\({g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)\)也为奇函数．

5、已知椭圆\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)（\(a > b > 0\)），圆\({x^2} + {y^2} = {b^2}\)，过椭圆上的动点\(M\)作圆的两条切线，切点分别为\(P\)、\(Q\)，直线\(PQ\)与坐标轴的交点为\(E\)、\(F\)，求\(\triangle EOF\)面积的最小值．

6、已知数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)满足\({a_{n + 1}} = n{p^n} + q{a_n},a_1=0\)．

（1）若\(q = 1\)，求\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的通项公式；

（2）若\(\left| p \right| < 1\)，\(\left| q \right| < 1\)，求证：数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)有界．

7、求证：当\(x \leqslant n\)时，\(n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{{\rm{e}}^x} \leqslant {x^2}\)．

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一、填空题

1、有一个圆心角是\(60^\circ\) ，面积是\(6\pi\)的扇形围成一个圆锥，则圆锥的表面积是_______．

2、已知\(f(x)\)满足\(f\left(\dfrac {a+2b}{3}\right)=\dfrac {f(a)+2f(b)}{3}\)，\(f(1)=1\)，\(f(4)=7\)，则\(f(2014)=\)_______．

3、\(10\)个人分成\(3\)人、\(3\)人、\(4\)人三组，共有_______种不同的分组方法．

4、已知\(f (x)=\lg{\left(x^2-2ax+a\right)}\)的值域为\(\mathcal R\) ，则实数\(a\)的取值范围为_______．

5、已知\(x<0\)，\(y < 0\)，\(x+y=-1\)，则\(xy+\dfrac 1{xy}\)的最_______值是_______．

6、\(f(x)=\arctan{\dfrac {2+2x}{1-4x}}+C\)在\(\left(-\dfrac 14,\dfrac 14\right)\)上为奇函数，则\(C\)的值是_______．

二、解答题

7、证明：\(\tan {3^\circ}\)是无理数．

8、已知 \(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)都是二次函数，方程\(3f(x)+g(x)=0\)和方程\(f(x)-g(x)=0\)都只有一个重根，方程\(f(x)=0\)有两个不等实根．证明：方程\(g(x)=0\)没有实数根．

9、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)是\(13\)项的等差数列，集合\[A=\left\{a_i+a_j+a_k\left|\right.1\leqslant i < j < k \leqslant 13,i,j,k\in \bf N^*\right\},\]则\(0,\dfrac 72,\dfrac {16}3\)能否同时在集合\(A\)中？

10、已知\({x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1\)，\({x_i} > 0\)，\(i = 1,2, \cdots ,n\)，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\]

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