已知函数\(f(x)=x\ln x\)与直线\(y=m\)交于\(A\left(x_1,y_1\right)\)、\(B\left(x_2,y_2\right)\)两点．
（1）求证：\(0<x_1x_2<\dfrac{1}{{\mathrm e}^2}\)；
（2）求证：\(\dfrac{2}{\mathrm e}<x_1+x_2<1\)． 继续阅读
在三角形\(ABC\)中，\(5\cos A+6\cos B+7\cos C=9\)，求证：\[\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^3\dfrac{B}{2}+\sin^4\dfrac{C}{2}\geqslant \dfrac{7}{16}.\] 继续阅读
如图，将正三角形\(ABC\)分割成\(n\)层共\(n^2\)个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于\(3\)时）都分别依次成等差数列，若顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)处的三个数互不相同且和为\(1\)，则所有顶点的数之和\(S_n=\)_______．
据说这是2015年高三泰州二模的第14题．
在三角形\(ABC\)中，\(D\)为边\(AC\)上一点，\(AB=AC=6\)，\(AD=4\)，若三角形\(ABC\)的外心\(O\)恰在线段\(BD\)上，则\(BC=\)_______．
2008年全国高中数学联赛江苏初赛涉及到了这样一个级数：\[\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n},\]原题是证明\(\dfrac{25}{36}\)是它的上界（证明方法是放缩裂项）．事实上，考虑到该级数即\[\sum_{k=1}^{2n}{\dfrac 1k}-\sum_{k=1}^{n}{\dfrac 1k},\]于是当\(n\to \infty\)时，该级数收敛于\[\lim_{n\to \infty}{\left(\sum_{k=1}^{2n}{\dfrac 1k}-\sum_{k=1}^{n}{\dfrac 1k}\right)}=\ln 2.\]这就相当于得到了\[\sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{2n(2n-1)}}=\ln 2.\]
但是这一方法无法求如下的收敛级数的极限：\[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3n(3n+1)}.\]那么对此类无法直接裂项的收敛级数，该如何处理呢？
已知\(f(x)=\ln x-\dfrac 1x\)与\(g(x)=ax\)交于两点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，求证：\(x_1x_2>2{\mathrm e}^2\)．
已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)，直线\(y=\dfrac{1}{2}x+1\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M\)在椭圆上，\(\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}\)，求椭圆方程．
