2009年的陕西高考曾经直接考察过余弦定理：
叙述并证明余弦定理．
这个题目很容易，那么进一步将问题变为：
叙述并证明余弦定理的逆定理．
你能够准确的完成吗？
一道数列型组合数学题
这是2014年东城区一模压轴题： 已知集合\(\{1,2,3,4,\cdots,n\}(n\geqslant 3\)，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有\(2\)个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于\(1\)，则称这些子集为离散子集，记离散子集的个数为\(a_n\)．
（1）当\(n=5\)时，写出所有离散子集；
（2）求\(a_{10}\);
（3）记\[S_n=\frac {a_3}{2^3}+\frac {a_4}{2^4}+\cdots+\frac {a_n}{2^n},\]求证：\(S_n<2\)． 继续阅读
练习题[1] 基本初等函数练习题
1、（2014年北京市海淀区高一期末试题）已知函数\(f(x)=\sin\dfrac{\pi}2x\)，任取\(t\in\mathcal R\)，记函数\(f(x)\)在区间\([t,t+1]\)上的最大值为\(M_t\)，最小值为\(m_t\)，记\(h(t)=M_t-m_t\)．则关于函数\(h(t)\)有如下结论：
① 函数\(h(t)\)为偶函数；
② 函数\(h(t)\)的值域为\(\left[1-\dfrac{\sqrt 2}2,1\right]\)；
③ 函数\(h(t)\)的周期为\(2\)；
④ 函数\(h(t)\)的单调增区间为\(\left[2k+\dfrac 12,2k+\dfrac 32\right],k\in \mathcal Z\)，
其中正确的结论有________．（填上所有正确的结论序号）
2、（2014年北京市海淀区高一期末考试题）已知函数\(f(x)\)的定义域为\([0,1]\)，且\(f(x)\)的图象连续不间断．若函数\(f(x)\)满足：对于给定的\(m\)（其中\(m\in\mathcal R\)且\(m\in(0,1)\)，存在\(x_0\in [0,1-m]\)，使得\(f(x_0)=f(x_0+m)\)，则称\(f(x)\)具有性质\(P(m)\)．
（1）已知函数\(f(x)=\left(x-\dfrac 12\right)^2,x\in [0,1]\)，判断\(f(x)\)是否具有性质\(P\left(\dfrac 13\right)\)，并说明理由；
（2）已知函数\[f(x)=\begin{cases}-4x+1,&0\leqslant x<\dfrac 14,\\4x-1,&\dfrac 14\leqslant x<\dfrac 34,\\-4x+5,&\dfrac 34\leqslant x\leqslant 1,\end{cases}\]若\(f(x)\)具有性质\(P(m)\)，求\(m\)的最大值；
（3）若函数\(f(x)\)的定义域为\([0,1]\)，且\(f(x)\)的图象连续不间断，又满足\(f(0)=f(1)\)，求证：对任意\(k\in\mathcal N^*\)且\(k\geqslant 2\)，函数\(f(x)\)具有性质\(P\left(\dfrac 1k\right)\)．
3、（2013年北京市西城区高一期末考试题）已知函数\(g(x)={\log_a}x\),其中\(a>1\)．
（1）当\(x\in[0,1]\)时，\(g(a^x+2)>1\)恒成立，求\(a\)的取值范围；
（2）设\(m(x)\)是定义在\([s,t]\)上的函数，在\((s,t)\)内任取\(n-1\)个数\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-2},x_{n-1}\)，设\(x_1<x_2<\cdots<x_{n-2}<x_{n-1}\)，令\(s=x_0\)，\(t=x_n\)，如果存在一个常数\(M>0\)，使得\[\sum_{i=1}^n\left|m(x_i)-m(x_{i-1})\right|\leqslant M\]恒成立，则称函数\(m(x)\)在区间\([s,t]\)上具有性质\(P\)． 试判断函数\(f(x)=\left|g(x)\right|\)在区间\(\left[\dfrac 1a,a^2\right]\)上是否具有性质\(P\)？若具有性质\(P\)，请求出\(M\)的最小值；若不具有性质\(P\)，请说明理由．
解析几何试题中的条件转化
解析几何试题的解题可以分为三步：读题构图，设参表达，消参求解，其中每一步都有各自的关键和诀窍．接下来分享的试题就体现了在“设参表达”方面的不同思路带来的解法差异．
过抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的焦点\(F\)的直线与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，抛物线准线与\(x\)轴交于\(C\)点，若\(\angle CBF=90^\circ\)，则\(|AF|-|BF|\)的值为________．
一道解析几何试题的背景
这是2014年北京市25校高三联考解析几何试题：
已知椭圆\(W:\dfrac {x^2}{2m+10}+\dfrac {y^2}{m^2-2}=1\)的左焦点为\(F(m,0)\)，过点\(M(-3,0)\)作一条斜率大于\(0\)的直线\(l\)与椭圆\(W\)交于不同的两点\(A\)、\(B\)，延长\(BF\)交椭圆\(W\)于点\(C\)．
（1）求椭圆\(W\)的离心率；
（2）若\(\angle MAC=60^\circ\)，求直线\(l\)的斜率．
一道解析几何试题的背景
这是2014年西城高三期末试题的解析几何大题：
已知\(A,B\)是抛物线\(W:y=x^2\)上的两个点，\(A(1,1)\)．直线\(AB\)的斜率为\(k\)，\(O\)为坐标原点．
（1）若抛物线\(W\)的焦点在直线\(AB\)下方，求\(k\)的取值范围；
（2）设\(C\)为\(W\)上一点，且\(AB\perp AC\)，过\(B\)，\(C\)分别作\(W\)的切线，记两切线的交点为\(D\)，求\(OD\)长度的最小值．
三角代数式求值
我们知道\[\begin{split}\cos\dfrac{\pi}7\cdot\cos\dfrac{2\pi}7\cdot\cos\dfrac{4\pi}7&=\dfrac {\sin\dfrac{\pi}7\cdot\cos\dfrac{\pi}7\cdot\cos\dfrac{2\pi}7\cdot\cos\dfrac{4\pi}7}{\sin\dfrac{\pi}7}\\&=\dfrac {\dfrac 18\sin\dfrac{8\pi}7}{\sin\dfrac{\pi}7}\\&=-\dfrac 18.\end{split}\] 那么如何求三角代数式\[\sin\dfrac{\pi}7\cdot\sin\dfrac{2\pi}7\cdot\sin\dfrac{4\pi}7\]的值呢？ 继续阅读
一则圆锥曲线题
已知抛物线\(y^2=4x\)上存在两点\(A\)，\(B\)关于直线\(y=kx+3\)对称，求\(k\)的取值范围．
对于圆锥曲线的题目，我的观点是直线方程的目的是为了消元．如果不需要求弦长，那么设直线方程基本上是多余的．体现在这道试题上，应该怎么解呢？
练习题[0] 2014-2015年北京市25校联合综合能力测试题精选
- 选择题压轴
已知\(f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\leqslant 0,\\-x^2-2x+3,&x>0.\end{cases}\)不等式\(f(x+a)>f(2a-x)\)在\([a,a+1]\)上恒成立，则实数\(a\)的取值范围是（ ）
A．\((-2,0)\)
B．\((-\infty,0)\)
C．\((0,2)\)
D．\((-\infty,-2)\)
- 填空题压轴
圆\(O\)的半径为\(1\)，\(P\)为圆周上一点，现将如图放置的边长为\(1\)的正方形（实线所示，正方形的顶点\(A\)与\(P\)重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点\(A\)第一次回到点\(P\)的位置，则点\(A\)走过的路径的长度为____．
- 解析几何大题
已知椭圆\(W:\dfrac {x^2}{2m+10}+\dfrac {y^2}{m^2-2}=1\)的左焦点为\(F(m,0)\)，过点\(M(-3,0)\)作一条斜率大于\(0\)的直线\(l\)与椭圆\(W\)交于不同的两点\(A\)、\(B\)，延长\(BF\)交椭圆\(W\)于点\(C\)．
（1）求椭圆\(W\)的离心率；
（2）若\(\angle MAC=60^\circ\)，求直线\(l\)的斜率．
- 导数大题
已知定义在\((1,+\infty)\)上的函数\(f(x)=x-\ln x-2\)，\(g(x)=x\ln x+x\)．
（1）求证：\(f(x)\)存在唯一的零点，且零点属于\((3,4)\)；
（2）若\(k\in \mathbf Z\)，且\(g(x)>k(x-1)\)对任意的\(x>1\)恒成立，求\(k\)的最大值．
- 组合大题