这是2014-2015年北京市25校联合综合能力测试的压轴题：
给定正奇数\(n(n\geqslant 5)\)，数列\(\left\{a_n\right\}:a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列，定义\[E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)=\left|a_1-1\right|+\left|a_2-2\right|+\cdots+\left|a_n-n\right|\]为数列\(\left\{a_n\right\}\)的位差和．
（1）当\(n=5\)时，求数列\(\left\{a_n\right\}:1,3,4,2,5\)的位差和；
（2）若位差和\(E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)=4\)，求满足条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的个数；
（3）若位差和\(E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)=\frac 12\left(n^2-1\right)\)，求满足条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的个数．
（1）4；
（2）“1+1+1+1型”有\(\mathrm C_{n-2}^2\)个；
“2+2”型有\(n-2\)个；
“1+1+2”型有\(2(n-2)\)个；
因此总共有\(\mathrm C_{n-2}^2+3(n-2)=\frac 12(n-2)(n+3)\)个．
（3）先考虑\(n=5\)的情形，此时\(E=12\)，很容易有以下构造：
\[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{matrix}\]
此时我们可以发现
\[E=(5-1)+(4-2)+(3-3)+(4-2)+(5-1)=12.\]
也就是说，这是当\(n=5\)时的最大位差和．这个事实很容易推广到一般情形，设\(n=2k-1\)，则：
\[\begin{split}E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=\left|a_1-1\right|+\left|a_2-2\right|+\cdots+\left|a_n-(2k-1)\right|\\&\leqslant \left[k+2\cdot (k+1)+2\cdot (k+2)+\cdots 2\cdot (2k-1)\right]-\left[2\cdot 1+2\cdot 2+\cdots +2\cdot (k-1)+k\right]\\&=2k^2-2k=\frac 12\left(n^2-1\right).\end{split}\]
于是我们需要且只需要保证\(1,2,3,\cdots,k\)在后\(k\)个位置或\(k,k+1,k+2,\cdots,2k-1\)在前\(k\)个位置即可．为了达到这个目的，可以先将\(k\)安排在任意一个位置，然后将剩下的位置中的前一半中安排\(k+1,k+2,\cdots,2k-1\)，后一半中安排\(1,2,3,\cdots,k-1\)就可以了．也就是说，满足条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的个数为\[(2k-1)\cdot (k-1)!\cdots (k-1)!=n\cdot\left(\frac {n-1}2\right)!.\]