练习题[0] 2014-2015年北京市25校联合综合能力测试题精选

• 选择题压轴

已知$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\leqslant 0,\\-x^2-2x+3,&x>0.\end{cases}$不等式$f(x+a)>f(2a-x)$在$[a,a+1]$上恒成立，则实数$a$的取值范围是（        ）

A．$(-2,0)$

B．$(-\infty,0)$

C．$(0,2)$

D．$(-\infty,-2)$

• 填空题压轴

圆$O$的半径为$1$，$P$为圆周上一点，现将如图放置的边长为$1$的正方形（实线所示，正方形的顶点$A$与$P$重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点$A$第一次回到点$P$的位置，则点$A$走过的路径的长度为____．

• 解析几何大题

已知椭圆$W:\dfrac {x^2}{2m+10}+\dfrac {y^2}{m^2-2}=1$的左焦点为$F(m,0)$，过点$M(-3,0)$作一条斜率大于$0$的直线$l$与椭圆$W$交于不同的两点$A$、$B$，延长$BF$交椭圆$W$于点$C$．

（1）求椭圆$W$的离心率；

（2）若$\angle MAC=60^\circ$，求直线$l$的斜率．

• 导数大题

已知定义在$(1,+\infty)$上的函数$f(x)=x-\ln x-2$，$g(x)=x\ln x+x$．

（1）求证：$f(x)$存在唯一的零点，且零点属于$(3,4)$；

（2）若$k\in \mathbf Z$，且$g(x)>k(x-1)$对任意的$x>1$恒成立，求$k$的最大值．

• 组合大题

http://lanqi.org/?p=481

• 选择题压轴
  注意到$f(x)$为单调函数，选D．
• 填空题压轴
  $\dfrac {\pi}{6}\left(3\times 1+3\times \sqrt 2+3\times 1\right)=\pi\left(1+\dfrac {\sqrt 2}2\right)$．
• 解析几何大题
  注意到$k_{AB}+k_{MC}=0$，于是斜率为$\dfrac {\sqrt 3}3$．
• 导数大题
  分离变量，注意对其中对数函数的换元处理，估计最值．$k$的最大值为$3$．
• 组合大题
  略