今天换换口味吧，来一道清爽可口的概率题．对计数有感的同学们可以试试啦！
已知袋中有\(10\)个小球，其中有\(5\)个红球，\(3\)个黄球，\(2\)个绿球．每次从袋中不放回的取出一个球，问红球首先被全部取出的概率．
今天继续昨天的话题——代数条件的直观化，带来的题目是一道来自北京市海淀区高三的函数小题．
已知函数\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)，则满足\[f\left(\frac{n\pi}{6}\right)<f\left(\frac{n\pi}{6}+\frac{\pi}6\right)\]的正整数\(n\)的最小值为________．
裂项求和是数列求和的一种重要方法．但由于对等差数列求和的倒序相加法和对等比数列（差比数列）的错位相减法的深（根）入（深）人（蒂）心（固），我几乎都忽略了裂项求和也可以应用于这些基本数列的求和．
例1．求和：\[2+5+8+\cdots+3n-1.\] 对通项进行裂项：\[3n-1=(an^2+bn)-\left[a(n-1)^2+b(n-1)\right]=2an-a+b,\]其中\(a,b\)为待定系数． 易得\[a=\frac 32,b=\frac 12.\] 于是\[2+5+8+\cdots+3n-1=\frac 32n^2+\frac 12n.\]
例2．求和：\[3+3^2+3^3+\cdots+3^n.\] 对通项进行裂项\[3^n=a\cdot 3^n-a\cdot 3^{n-1}=\frac{2a}3\cdot 3^n,\]其中\(a\)为待定系数． 易得\[a=\frac 32.\] 于是\[3+3^2+3^3+\cdots+3^n=\frac 32\cdot 3^n-\frac 32.\]
例3．求和\[1\cdot 2+3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+\cdots+(2n-1)\cdot 2^n.\] 对通项进行裂项\[\begin{split}(2n-1)\cdot 2^n&=(an+b)\cdot 2^n-\left[a(n-1)+b\right]\cdot 2^{n-1}\\&=\left(\frac a2\cdot n+\frac{a}2+\frac{b}2\right)\cdot 2^n,\end{split}\]其中\(a,b\)为待定系数． 易得\[a=4,b=-6.\] 于是\[1\cdot 2+3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+\cdots+(2n-1)\cdot 2^n=(4n-6)\cdot 2^n+6.\]
例4．求和\[1\cdot 2+2^2\cdot 2^2+3^2\cdot 2^3+\cdots+n^2\cdot 2^n.\] 对通项进行裂项\[\begin{split}n^2\cdot 2^n&=(an^2+bn+c)\cdot 2^n-\left[a(n-1)^2+b(n-1)+c\right]\cdot 2^{n-1}\\&=\left[\frac a2\cdot n^2+\left(a+\frac b2\right)n-\frac a2+\frac b2+\frac c2\right]\cdot 2^n,\end{split}\]其中\(a,b,c\)为待定系数． 易得\[a=2,b=-4,c=6.\] 于是\[1\cdot 2+2^2\cdot 2^2+3^2\cdot 2^3+\cdots+n^2\cdot 2^n=(2n^2-4n+6)\cdot 2^n-6.\]
综上所述，用待定系数裂项法求差比数列（甚至是高阶差比数列）的前$n$项和非常简便，尤其是算完待定系数之后无需整理，可谓居家旅行杀人越货之利器也．
这次我们来看看2010年北京高考理科数学解析几何试题中的条件转化．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(B\)与\(A(-1,1)\)关于原点对称，\(P\)是动点，且直线\(AP\)与\(BP\)的斜率之积等于\(-\dfrac 13\)．
（1）求动点\(P\)的轨迹方程；
（2）设直线\(AP\)和\(BP\)分别与直线\(x=3\)交于点\(M\)，\(N\)，问：是否存在点\(P\)使得\(\triangle PAB\)与\(\triangle PMN\)的面积相等？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．
今天继续带来一道代数条件直观化的试题．原题是2015年北京市海淀区高三期末文科压轴题．
已知数列\(\{a_n\}\)是公差为\(d\)，首项\(a_1=1\)的等差数列，问是否存在实数\(d\)使得数列\(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的\(d\)的值；若不存在，说明理由．
这是2013年全国新课标I卷理科数学的选择题最后一题（第12题），主要考察变化中的规律探索．同时，本题也是代数条件直观化的一道好题．数形结合思想最强大、最优美的一面就是：对繁杂晦涩的代数算式运用几何直观的方式将蕴含的本质挖掘出来，从而使得问题获得极大简化．
设三角形\(A_nB_nC_n\)的三边长分别为\(a_n,b_n,c_n\)，三角形\(A_nB_nC_n\)的面积为\(S_n\)，\(n=1,2,3,\cdots\)，若\(b_1>c_1\)，\(b_1+c_1=2a_1\)，且满足\[\begin{split}a_{n+1}&=a_n,\\b_{n+1}&=\frac{c_n+a_n}2,\\c_{n+1}&=\frac{b_n+a_n}2,\end{split}\]则（ ）
A．\(\{S_n\}\)为递减数列
B．\(\{S_n\}\)为递增数列
C．\(\{S_{2n-1}\}\)为递增数列，\(\{S_{2n}\}\)为递减数列
D．\(\{S_{2n-1}\}\)为递减数列，\(\{S_{2n}\}\)为递增数列
平面向量、三角和复数是代数与几何在高中数学中融合最为紧密的部分，在这些部分中一题多解也是最为常见的．今天就给大家带来一道自主招生训练题，一起来感受一下．
如图，\(P\)为三角形\(ABC\)内部一点，且满足\(\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP\)，求证：\(BC^2=AC\cdot AB\)．
据说这是一道练习复数法的习题，但我没有用复数法解出来．
已知\(P\)为三角形\(ABC\)的费马点，记\(PA\)，\(PB\)，\(PC\)的长为\(x\)，\(y\)，\(z\)，三角形的边长为\(a\)，\(b\)，\(c\)．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\]
已知直线\(y=k(x+2)(k>0)\)与抛物线\(C:y^2=8x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)为\(C\)的焦点．若\(FA=2FB\)，则\(k=\)________．