一则圆锥曲线题

已知抛物线\(y^2=4x\)上存在两点\(A\),\(B\)关于直线\(y=kx+3\)对称,求\(k\)的取值范围.

对于圆锥曲线的题目,我的观点是直线方程的目的是为了消元.如果不需要求弦长,那么设直线方程基本上是多余的.体现在这道试题上,应该怎么解呢?


设\(A(4m^2,4m)\),\(B(4n^2,4n)\),\(m,n>0\)则弦\(AB\)的中点为\(M(2(m^2+n^2),2(m+n))\).于是\[\dfrac {2(m+n)-3}{2(m^2+n^2)-0}\cdot\dfrac {4m-4n}{4m^2-4n^2}=-1,\]即\[2(m^2+n^2)=-2+\dfrac 3{m+n}.\]另一方面\[k=-\dfrac {4m^2-4n^2}{4m-4n}=-(m+n),\]因此由\[2(m^2+n^2)\geqslant (m+n)^2\]可得\[-2-\dfrac 3k\geqslant k^2,\]解得\(k\)的取值范围为\((-1,0)\).

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