2013年高考重庆卷理科数学第10题（选择压轴题）：
在平面上，\(\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{AB_2}=0\)，\(\left|\overrightarrow{OB_1}\right|=\left|\overrightarrow{OB_2}\right|=1\)，\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AB_2}\)，若\(\left|\overrightarrow{OP}\right|<\dfrac 12\)，则\(\left|\overrightarrow{OA}\right|\)的取值范围是________．
1、（2015年北京市东城区高三期末理科）
对于数列\(A:a_1,a_2,a_3\)（\(a_i\in\mathcal N,i=1,2,3\)），定义\(T\)变换：\(T\)将数列\(A\)变换成数列\(B:b_1,b_2,b_3\)，其中\(b_i=\left|a_i-a_{i+1}\right|\)（\(i=1,2\)），且\(b_3=\left|a_3-a_1\right|\)．继续对数列\(B\)进行\(T\)变换，得到数列\(C:c_1,c_2,c_3\)，依次类推，当得到的数列各项均为\(0\)时变换结束．
（1）试问数列\(A:2,6,4\)经过不断的\(T\)变换能否结束？若能，请依次写出经过\(T\)变换得到的各数列；若不能，请说明理由．
（2）设数列\(A:a_1,a_2,a_3\)，对数列\(A\)进行\(T\)变换，得到数列\(B:b,2,a\)（\(a\geqslant b\)），若数列\(B\)的各项之和为\(2014\)，求\(a,b\)的值；
（3）在（2）的条件下，若数列\(B\)再经过\(k\)次\(T\)变换得到的数列各项之和最小，求\(k\)的最小值，并说明理由．
2、数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=a\)，\(a\in\mathcal N^*\)，\[a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac 13a_n,&3|a_n,\\a_n+1,&3\nmid a_n.\end{cases}\]集合\(A=\left\{x\left|\right. x=a_n,n\in\mathcal N^*\right\}\)．
（1）\(a_4\)是数列\(\left\{a_n\right\}\)中首次为\(4\)的项，写出所有满足条件的数列的首项；
（2）求证：\(\{1,2,3,\}\subseteq A\)．
（3）\(a\leqslant 2014\)时，求\(A\)中元素个数的最大值．
3、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_n\in\mathcal N^*\)，\(a_1=1\)，\[a_{n+1}=\begin{cases}a_n-n,&a_n>n\\a_n+n,&a_n\leqslant n.\end{cases}\]
（1）写出\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)；
（2）取出所有\(a_i=1\)的\(i\)从小到大排列得到\(\left\{n_k\right\}\)，用\(n_k\)表示\(n_{k+1}\)；
（3）求最小值的\(n\in\mathcal N^*\)，使得\(a_n=2013\)．
今天的题目来自2011年浙江高考理科数学卷第10题（选择压轴题）．
设\(a,b,c\)为实数，\(f(x)=(x+a)\left(x^2+bx+c\right)\)，\(g(x)=(ax+1)\left(cx^2+bx+1\right)\)．记集合\(S=\left\{x\left|\right.f(x)=0,x\in\mathcal R\right\}\)，\(T=\left\{x\left|\right.g(x)=0,x\in\mathcal R\right\}\)，若\(\mathrm{Card}(S)\)、\(\mathrm{Card}(T)\)分别表示集合\(S\)、\(T\)的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．\(\mathrm{Card}(S)=1\)且\(\mathrm{Card}(T)=0\)
B．\(\mathrm{Card}(S)=1\)且\(\mathrm{Card}(T)=1\)
C．\(\mathrm{Card}(S)=2\)且\(\mathrm{Card}(T)=2\)
D．\(\mathrm{Card}(S)=2\)且\(\mathrm{Card}(T)=3\)
1、（2014年北京市西城二模）设\(A\)、\(B\)是椭圆\(W:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)不关于坐标轴对称的两个点，直线\(AB\)交\(x\)轴于点\(M\)（与点\(A\)、\(B\)）不重合），\(O\)为坐标原点．
（1）如果点\(M\)是椭圆\(W\)的右焦点，线段\(MB\)的中点在\(y\)轴上，求直线\(AB\)的方程；
（2）设\(N\)为\(x\)轴上的一点，且\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4\)．直线\(AN\)与椭圆\(W\)的另外一个交点为\(C\)．证明：点\(B\)与点\(C\)关于\(x\)轴对称．
2、已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点\(F(2,0)\)的距离为\(\sqrt{10}\)，过焦点\(F\)作直线\(l\)，交椭圆于\(A\)、\(B\)两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上有一点\(C\)，使四边形\(AOBC\)恰好为平行四边形，求直线\(l\)的斜率．
3、（2014年北京市朝阳区一模）已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)经过点\(\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程；
（2）直线\(y=k(x-1)(k\neq 0\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M\)是椭圆\(C\)的右顶点．直线\(AM\)与直线\(BM\)分别与\(y\)轴交于点\(P\)、\(Q\)．试问以线段\(PQ\)为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
4、（2014年北京市石景山区一模）给定椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，称圆心在原点\(O\)，半径为\(\sqrt{a^2+b^2}\)的圆是椭圆\(C\)的“准圆”．若椭圆\(C\)的一个焦点为\(F\left(\sqrt 2,0\right)\)，其短轴上的一个端点到\(F\)的距离为\(\sqrt 3\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程和其“准圆”的方程；
（2）点\(P\)是椭圆\(C\)的“准圆”上动点，过\(P\)作椭圆的切线\(l_1\)、\(l_2\)交“准圆”于点\(M\)、\(N\)．
① 当\(P\)为“准圆”与\(y\)轴正半轴的的交点时，求直线\(l_1\)、\(l_2\)的方程，并证明\(l_1\perp l_2\)；
② 求证：线段\(MN\)的长为定值．
5、（2015年北京市东城区高三期末）已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，短轴长为\(2\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程；
（2）设\(P\)是椭圆\(C\)长轴上的一个动点，过\(P\)作斜率为\(\dfrac 12\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(PA^2+PB^2\)为定值．
1、在空间四边形\(ABCD\)中，两条对角线\(AC\)、\(BD\)互相垂直，且长度分别为\(4\)和\(6\)，平行于这两条对角线的平面与边\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\)分别相交于点\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)，记四边形\(EFGH\)的面积为\(y\)，设\(\dfrac{BE}{AB}=x\)，则（ ）
A．函数\(y=f(x)\)的值域为\(\left(0,4\right]\)
B．函数\(y=f(x)\)的最大值为\(8\)
C．函数\(y=f(x)\)在\(\left(0,\dfrac 23\right)\)上单调递减
D．函数\(y=f(x)\)满足\(f(x)=f(1-x)\)
2、在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(E\)为底面\(ABCD\)上的动点．若三棱锥\(B-D_1EC\)的表面积最大，则\(E\)点位于（ ）
A．点\(A\)处
B．线段\(AD\)的中点处
C．线段\(AB\)的中点处
D．点\(D\)处
3、在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(M\in AA_1\)，\(N\in DD_1\)且\(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{NP}=0\)，\(\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，则\(BP\)与底面\(ABCD\)所成角正切的最大值为_______．
4、正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(1\)，动点\(P\)、\(Q\)分别在棱\(BC\)、\(CC_1\)上，过点\(A\)、\(P\)、\(Q\)的平面截该正方体所得截面记为\(S\)，设\(BP=x\)、\(CQ=y\)，其中\(x,y\in [0,1]\)，下列命题中正确的有_______．
① 当\(x=0\)时，\(S\)为矩形，其面积最大为\(1\)；
② 当\(x=y=\dfrac 12\)时，\(S\)为等腰梯形；
③ 当\(x=\dfrac 12\)，\(y\in\left(\dfrac 12,1\right]\)时，设\(S\)与棱\(C_1D_1\)的交点为\(R\)，则\(RD_1=2-\dfrac 1y\)；
④ 当\(y=\dfrac 12\)时，以\(B_1\)为顶点，\(S\)为底面的棱锥的体积为定值\(\dfrac 13\)．
5、在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PD\perp\)平面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)为正方形，\(PD=AD=2\)．\(M\)、\(N\)分别为线段\(AC\)上的点，若\(\angle MBN=30^\circ\)，则三棱锥\(M-PNB\)体积的最小值为_______．
6、棱长为\(1\)的正方体的正投影面积的取值范围是_______．
7、设\(P\)、\(Q\)为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线\(PQ\)旋转\(\theta\)（\(0<\theta<2\pi\)）角后能与自身重合，那么符合条件的直线\(PQ\)有_______条．
已知二面角\(\alpha-AB-\beta\)为\(120^\circ\)，\(CD\subset\alpha\)，\(CD\perp AB\)，\(EF\subset\beta\)，\(EF\)与\(AB\)成\(30^\circ\)角，则异面直线\(CD\)与\(EF\)所成角的余弦值为________．
已知函数\(f(x)\)的定义域和值域都为\([0,1]\)，\(f_1(x)=f(x)\)，\(f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)\)，称方程\(f_n(x)=x\)的解为\(f(x)\)的\(n\)阶周期点．函数\[f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1\end{cases}\]的\(n\)阶周期点的个数为________．
1、已知圆$O:x^2+y^2=1$．若直线$y=kx+2$上总存在点$P$，使得过点$P$的圆$O$的两条切线互相垂直，则实数$k$的取值范围是_______．
2、已知曲线$C:\sqrt{2x+y-\sqrt 2}\cdot\sqrt{4x^2+y^2-2}=0$，对于下列命题：
① 曲线$C$为轴对称图形；
② 曲线$C$与坐标轴围成封闭图形的面积小于$\dfrac{\pi}2$；
③ 曲线$C$上的点到原点的距离最小值为$\dfrac{\sqrt{10}}5$；
④ 已知点$A\left(0,-\dfrac{\sqrt 6}2\right)$，$B\left(0,\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)$，$P$为曲线$C$上一点，则有$PA+PB\geqslant 2\sqrt 2$．
上述命题中，真命题的序号是_______．
3、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款规则如下：
① 如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；
② 如果一次性购物超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③ 如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．
甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品，实际付款450元，若丙一次性购买A、B两件商品，则应付款_______元．
4、设函数\[f(x)=\begin{cases}|x-a|,&x\leqslant 1,\\{\log_2}x,&x>1.\end{cases}\]
（1）如果$f(1)=3$，那么实数$a=$_______；
（2）如果函数$y=f(x)-2$有且仅有两个零点，那么实数$a$的取值范围是_______．
5、已知两点$M(-1,0)$，$N(1,0)$，若直线$y=k(x-2)$上至少存在三个点$P$，使得三角形$MNP$是直角三角形，则实数$k$的取值范围是_______．
6、阅读下面的框图，回答问题：
（1）若输入$a=1$，$\Delta=0.1$，则输出的$x_1=$_______；
（2）如输入$a=2$，则对输入$\forall\Delta >0$，均有输出的$x_1$满足：
① $N<x_1$；② $x_1\leqslant M$．
选定你认为正确的结论_______，指出$N$或$M$的取值范围________．
7、已知数集$A=\left\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right\}$，其中$0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，具有性质：
对于任意$i,j\in\mathcal N$，其中$1\leqslant i\leqslant j \leqslant 5$，$a_j+a_i$与$a_j-a_i$中至少有一个属于$A$．
若$a_5=60$，则$a_1=$_______；$a_3=$_______．
如图，梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallel BC\)，\(\angle ABD=15^\circ\)，\(BC=BD\)，\(CD=CE\)．求证：三角形\(ABC\)为等腰直角三角形．
我是用三角方法解的，征求纯平面几何方法．
设\(BC=1\)，\(\angle CBD=2x\)，则\(CD=2\sin x\)．
在三角形\(ADC\)中应用正弦定理，有\[\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{CD}{\sin\angle CAD},\]于是\[\frac{AC}{\sin\left(x+90^\circ\right)}=\frac{2\sin x}{\sin\left(90^\circ-3x\right)},\]所以\[AC=\frac{\sin 2x}{\cos 3x}.\]
在三角形\(ABC\)中应用正弦定理，有\[\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC},\]于是\[\frac{AC}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{1}{\sin\left(x+75^\circ\right)},\]整理得\[\frac{\sin 2x}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{\cos 3x}{\sin\left(x+75^\circ\right)}.\]
显然，\(0<x<30^\circ\)，在此区间左侧单调递增，右侧单调递减（可以由导数证明），因此有唯一实数解\(x=15^\circ\)．
进而不难得到三角形\(ABC\)为等腰直角三角形．
我构想的辅助线是这样的：
我们先来看一道简单的试题．
（2015年北京朝阳高三期末理）已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）过点\(\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．过椭圆右顶点\(A\)的两条斜率乘积为\(-\dfrac 14\)的直线分别交椭圆\(C\)于\(M,N\)两点．
（1）求椭圆\(C\)的标准方程；
（2）直线\(MN\)是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案 （1）\(C:\dfrac{x^2}4+y^2=1\)；（2）定点坐标为\((0,0)\)．
熟悉椭圆的垂径定理的同学一定知道这个定理的有用推论（并且也可作为椭圆的斜率积定义，有时这个定义又称为第三定义）：
椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的点\(P\)与椭圆的直径\(AB\)（过椭圆中心的直线被椭圆截得的线段）的两个端点的连线的斜率之积\[k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}.\]
这个题目是该推论的逆命题：
对于椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的点\(P\)，过\(P\)作两条直线\(PA\)、\(PB\)（点\(A\)、\(B\)为椭圆上不同于\(P\)的点），它们的斜率之积\[k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2},\]那么线段\(AB\)是椭圆的直径（即直线\(AB\)通过椭圆的中心）．
现在进入正题．
（2015年北京海淀高三期末理）已知椭圆\(M:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)，点\(F_1\)、\(C\)分别是椭圆\(M\)的左焦点、左顶点，过点\(F_1\)的直线\(l\)（不与\(x\)轴重合）交\(M\)于\(A\)、\(B\)两点．
（1）求\(M\)的离心率及短轴长；
（2）是否存在直线\(l\)，使得点\(B\)在以线段\(AC\)为直径的圆上，若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
