每日一题[88] 抛物线的光学性质

(2015年北京市东城区高三一模数学理科)在平面直角坐标系\(xOy\)中,动点\(E\)到定点\((1,0)\)的距离与它到直线\(x=-1\)的距离相等.

(1)求动点\(E\)的轨迹\(C\)的方程;

(2)设动直线\(l:y=kx+b\)与曲线\(C\)相切于点\(P\),与直线\(x=-1\)相交于点\(Q\).证明:以\(PQ\)为直径的圆恒过\(x\)轴上的某定点.


cover(1)    根据抛物线的定义可知动点\(E\)的轨迹为抛物线,其方程为\[C:y^2=4x.\]

(2)   以\(PQ\)为直径的圆恒过抛物线\(C\)的焦点\(F(1,0)\),证明如下.

QQ20150411-2过\(P\)作准线\(x=-1\)的垂线,垂足为\(H\).由抛物线的光学性质有\[\angle FPQ=\angle QPH,\]根据抛物线的定义有\[PF=PH,\]因此三角形\(PQF\)与三角形\(PQH\)全等,于是\(\angle PFQ\)恒为直角,进而以\(PQ\)为直径的圆恒过抛物线\(C\)的焦点\(F(1,0)\).


    抛物线的光学性质的证明可以仿照椭圆的光学性质的证明进行,留给读者.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复