2013年高考湖北卷理科数学第10题（选择压轴题）：
已知\(a\)为常数，\(f(x)=x\left(\ln x-ax\right)\)有两个极值点\(x_1\)、\(x_2\)（\(x_1<x_2\)），则（ ）
A．\(f(x_1)>0\)，\(f(x_2)>-\dfrac 12\)
B．\(f(x_1)<0\)，\(f(x_2)<-\dfrac 12\)
C．\(f(x_1)>0\)，\(f(x_2)<-\dfrac 12\)
D．\(f(x_1)<0\)，\(f(x_2)>-\dfrac 12\)
正确的答案是D．
首先计算\(f'(x)=\ln x-2ax+1\)，设导函数的零点为\(x=t\)，则\[\ln t=2at-1,\]我们熟知函数\(y=\ln x\)在\((1,0)\)处的切线为\(y=x-1\)，于是可知\[0<x_1<1<x_2,\]如图．
为了消去参数\(a\)，将\[at=\dfrac 12\left(\ln t+1\right)\]代入\[f(t)=t\left(\ln t-at\right),\]得\[f(t)=\dfrac 12t\ln t-\dfrac 12t,\]注意到\[\left(\dfrac 12t\ln t-\dfrac 12t\right)'_t=\dfrac 12\ln t,\]于是其图象如下．
由此不难得到\[-\dfrac 12<f(x_1)<0\land -\dfrac 12<f(x_2).\]选D．