今天的题目是2015年北京市西城区高三二模数学理科的压轴题：
无穷数列\(P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,\)满足\(a_i\in\mathcal N^*\)，且\(a_i\leqslant a_{i+1}\)（\(i\in\mathcal N^*\)）．对于数列\(P\)，记\(T_k(P)\)（\(k\in\mathcal N^*\)）表示集合\(\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}\)中最小的数．
（1）若数列\(P:1,3,4,7,\cdots\)，写出\(T_1(P),T_2(P),\cdots,T_5(P)\)；
（2）若\(T_k(P)=2k-1\)，求数列\(P\)前\(n\)项的和；
（3）已知\(a_{20}=46\)，求\(\sum\limits_{i=1}^{20}{a_i}+\sum\limits_{j=1}^{46}{T_j(P)}\)的值．
已知非零向量\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\)互相垂直，则\(\overrightarrow a+ \overrightarrow b\)和\(\overrightarrow a+2\overrightarrow b\)的夹角余弦值的最小值为_______．
已知\(x,y\in \mathcal R\)，\(\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)\)，且满足\[\begin{cases}\dfrac{\sin\theta}{x}=\dfrac{\cos\theta}{y}\\\dfrac{\cos^2\theta}{x^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{y^2}=\dfrac{10}{3\left(x^2+y^2\right)}\end{cases}\]求\(\dfrac{x}{y}\)的值．
已知函数\[f(x)=1+x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\cdots-\dfrac{x^{2014}}{2014}+\dfrac{x^{2015}}{2015},\]若函数\(f(x)\)的零点都在区间\([a,b]\)（其中\(a<b\)且\(a,b\in\mathcal Z\)）内，则\(b-a\)的最小值为_______．
抛物线的三条切线所围成的三角形称为切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为切点三角形，它们有很多美妙的性质．
1、切线三角形的外接圆过抛物线的焦点．
设抛物线的方程为\(E:x^2=2py\)，\(A\left(2pa,2pa^2\right)\)，\(B\left(2pb,2pb^2\right)\)，\(C\left(2pc,2pc^2\right)\)，则三条切线的方程分别为\[\begin{split}B'C'&:2ax-y-2pa^2=0,\\C'A'&:2bx-y-2pb^2=0,\\A'B'&:2cx-y-2pc^2=0,\end{split}\]进而可联立解得\[A'\left(p(b+c),2pbc\right),B'\left(p(c+a),2pca\right),C'\left(p(a+b),2pab\right).\]
因此，三角形\(A'B'C'\)外接二次曲线的方程为\[L_AL_B+\lambda L_BL_C+\mu L_CL_A=0,\]其中\(L_A\)、\(L_B\)、\(L_C\)分别为\(A\)、\(B\)、\(C\)处切线方程的左侧代数式．将其整理为\[Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0\]的形式，其中\[\begin{split}A&=4(ab+\lambda bc+\mu ca),\\B&=1+\lambda+\mu,\\C&=-2\left[(a+b)+\lambda (b+c)+\mu (c+a)\right],\end{split}\]为了使得该方程表示圆，有\[A=B\land B=0,\]从而解得\[\begin{cases}\lambda=\dfrac{\left(1+4a^2\right)\left(b-c\right)}{\left(1+4c^2\right)\left(a-b\right)},\\\mu=\dfrac{\left(1+4b^2\right)\left(c-a\right)}{\left(1+4c^2\right)\left(a-b\right)},\end{cases}\]于是三角形\(A'B'C'\)外接圆的方程为\[\sum_{cyc}\left[\left(1+4c^2\right)\left(a-b\right)\left(2ax-2pa^2\right)\left(2bx-y-2pb^2\right)\right]=0,\]将抛物线的焦点坐标\(F\left(0,\dfrac{p}{2}\right)\)代入左边，有\[\begin{split}&\quad \sum_{cyc}\left[\left(1+4c^2\right)\left(a-b\right)\left(-\dfrac p2-2pa^2\right)\left(-\dfrac p2-2pb^2\right)\right]\\&=\dfrac{p^2}{4}\left(1+4a^2\right)\left(1+4b^2\right)\left(1+4c^2\right)\sum_{cyc}\left(a-b\right)\\&=0,\end{split}\]因此性质1得证．
2、切线三角形的垂心在抛物线的准线上．
根据之前的结果，有\[\begin{split}A'H&:y-2pbc=-\dfrac{1}{2a}\left[x-p(b+c)\right],\\B'H&:y-2pca=-\dfrac{1}{2b}\left[x-p(c+a)\right],\end{split}\]从而可得垂心\(H\)的纵坐标满足\[2a(y-2pbc)-2b(y-2pca)=p(b+c)-p(c+a),\]即\[y=-\dfrac{p}{2},\]因此性质2得证．
3、切线三角形的面积是切点三角形面积的一半．
根据之前的结果，有\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\dfrac 12\begin{vmatrix}1&1&1\\2pa&2pb&2pc\\2pa^2&2pb^2&2pc^2\end{vmatrix}\\&=2p^2\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|,\end{split}\]而\[\begin{split}S_{\triangle A'B'C'}&=\dfrac 12\begin{vmatrix}1&1&1\\p(b+c)&p(c+a)&p(a+b)\\2pbc&2pca&2pab\end{vmatrix}\\&=p^2\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|,\end{split}\]因此性质3得证．
4、抛物线的焦点到切线三角形三个顶点的距离之积与到切点三角形三个顶点的距离之积相等．
根据之前的结果，有\[\begin{split}FA^2\cdot FB^2\cdot FC^2&=\prod_{cyc}\left[\left(2pa\right)^2+\left(\dfrac{p}{2}-2pa^2\right)^2\right]\\&=p^2\prod_{cyc}\left(2a^2+\dfrac{1}{2}\right)^2,\end{split}\]而\[\begin{split}FA'^2\cdot FB'^2\cdot FC'^2&=\prod_{cyc}\left[\left(p(b+c)\right)^2+\left(\dfrac{p}{2}-2pbc\right)^2\right]\\&=p^2\prod_{cyc}\left[\left(2b^2+\dfrac 12\right)\left(2c^2+\dfrac 12\right)\right],\end{split}\]因此性质4得证．
5、对切点三角形而言，可以视切线三角形为割线应用“Menelaus定理”．
即在图中有\(\dfrac{AB'}{B'C}\cdot\dfrac{CA'}{B'B}\cdot\dfrac{BC'}{C'A}=1\)．
先证明
引理 过点\(P(x_0,y_0)\)作二次曲线\[Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0\]的割线\(PMN:y=kx+m\)，其中\(M\)、\(N\)在二次曲线上，那么\[PM\cdot PN=\left(1+k^2\right)\cdot\left|\dfrac{Ax_0^2+By_0^2+Dx_0+Ey_0+F}{A+Bk^2}\right|.\]
从而可以得到切线长的计算公式，进而可以推得更一般的结论（对一般圆锥曲线均成立），此处从略．
如图所示，在三角形\(ABC\)和三角形\(AEF\)中，\(B\)是\(EF\)的中点，\(AB=EF=1\)，\(BC=6\)，\(CA=\sqrt{33}\)，若\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE}+\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{AF}=2\)，则\(\overrightarrow{EF}\)与\(\overrightarrow{BC}\)夹角的余弦值为_______．
题目来自2014年北京市海淀区高三一模数学理科第7题：
某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
标准答案给的是C．因为打完折之后单价为28.8元，这样单张订单只要不少于11件就可以享受100元的减免．购买的件数为42件，因此可以拼出三张单张不少于11件的订单（如3张订单，每张都14件）．事实上，如果多买2件用来凑4张可享受减免的订单，那么还可以节约\(100-28.8\times 2=42.4\)元．说到这里，我们不禁要说：凑个单可好？
为了不出现这样的乌龙，题目还是改成购买40件比较合适，这样凑单需要的支出就高于得到的回报了．．．
设函数\(f(x)=\left|ax+b-\sqrt x\right|,x\in [0,4]\)，其中\(a,b\)为实数．设\(f(x)\)的最大值为\(M(a,b)\)，求\(M(a,b)\)的最小值．
