每日一题[107] 调整法解最值问题

设函数\(f(x)=\left|ax+b-\sqrt x\right|,x\in [0,4]\),其中\(a,b\)为实数.设\(f(x)\)的最大值为\(M(a,b)\),求\(M(a,b)\)的最小值.


cover正确答案是\(\dfrac{1}{4}\).

记\(O(0,0)\),\(A(4,2)\),抛物线段\(E:y=\sqrt x,x\in [0,4]\).

首先,任意一条与抛物线段\(E\)无公共点的线段,都可以通过平移使其与抛物线段\(E\)有公共点,并在此过程中\(M(a,b)\)变小,如图.

QQ20150430-1

接下来,将与抛物线段\(E\)有公共点的线段的斜率调整到\(\dfrac{1}{2}\),在调整过程中,\(M(a,b)\)变小或不变,如图.

QQ20150430-2

最后,在斜率为\(\dfrac{1}{2}\),且位于抛物线段\(E\)的切线(\(y=\dfrac 12x+\dfrac 12\))和割线(\(y=\dfrac 12x\))之间的线段中,位于居中位置的\(y=\dfrac 12x+\dfrac 14\)使得\(M(a,b)\)最小,此时\(M(a,b)\)的最小值为\(\dfrac{1}{4}\).

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  3. 朱哥说:

    调整大法好

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