Math173

已知平面\(\alpha\)和\(\beta\)相交形成的四个二面角中的其中一个为\(60^\circ\)，则在空间中过某定点\(P\)与这两个平面所成的线面角均为\(30^\circ\)的直线\(l\)条数为_______．

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向量的数量积运算有明确的几何意义，合理利用几何意义可以有效减少计算．特别是在探索对于与动点相关的数量积的最值问题中的最值点位置时，往往可以起到一矢中的的效果．

2014年高考数学浙江卷（文科）第9题：

设\(\theta\)为两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)的夹角，已知对任意实数\(t\)，\(\left|\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right|\)的最小值为\(1\)，则下列说法正确的有______．

① 若\(\theta\)确定，则\(\left|\overrightarrow{a}\right|\)唯一确定；

② 若\(\theta\)确定，则\(\left|\overrightarrow{b}\right|\)唯一确定；

③ 若\(\left|\overrightarrow{a}\right|\)确定，则\(\theta\)唯一确定；

④ 若\(\left|\overrightarrow{b}\right|\)确定，则\(\theta\)唯一确定． 继续阅读 →

与函数不等式相关的问题往往与函数的单调性相关，此时的解析式更像是给出函数性质的一个载体，而与具体的形式关系不大．函数不等式问题解决的关键就在于将函数不等式转化成与自变量相关的不等式，这通常通过探索函数的性质以及对函数不等式进行变形得到．

设\(f(x)\)是定义在\(\mathcal{R}\)上的奇函数，且当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=x^2\)，若对于任意的\(x\in [t,t+2]\)，不等式\(f(x+t)\geqslant 2f(x)\)恒成立，则实数\(t\)的取值范围是_____．

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已知实数列 \(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)的各项均不为 \(0\)，且 \[\begin{cases}a_n=a_{n-1}\cos \theta-b_{n-1}\sin \theta,\\b_n=a_{n-1}\sin \theta+b_{n-1}\cos \theta,\end{cases}\]\(a_1=1\)，\(b_1=\tan \theta\)，其中\(\theta\)为已知常数，求数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通项公式．

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 2015年高考数学新课标I卷（理科）压轴题：

已知函数\(f(x)=x^3+ax+\dfrac 14\),\(g(x)=-\ln x\)．

（1）当\(a\)为何值时，\(x\)轴为曲线\(y=f(x)\)的切线；

（2）用\(\min\{m,n\}\)表示\(m,n\)中的最小值，设函数\(h(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}(x>0)\)，讨论\(h(x)\)零点的个数．

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已知函数\(f(x)=\ln x-ax^2\)，其中\(a>0\)．若存在\(x_1,x_2\in [1,3]\)，且\(x_1-x_2\geqslant 1\)，使得\(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\)，求证：\(\dfrac{\ln 3-\ln 2}{5}\leqslant a\leqslant \dfrac{\ln 2}{3}\)．

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含有可变参数\(\lambda\)的方程\(F_{\lambda}\left(x,y\right)=0\)表示的一系列曲线，我们称之为曲线系．曲线系可以看做是曲线随着可变参数的变化而运动所形成的图形．如平行直线系\(2x-y+\lambda=0\)表示所有斜率为\(2\)的直线；同心圆系\(x^2+y^2=\lambda^2\)表示圆心在原点的所有圆（原点看作特殊的圆）．探索曲线系（以直线系和圆系最为常见）中是否存在某种特殊图形是高考中经常考查的重点和难点．解决此类问题的关键是准确理解曲线系的形成过程，从而把握曲线系的性质．

已知圆\(M\)：\((x+\cos \theta)^2+(y-\sin\theta)^2=1\)，直线\(y=kx\)，下面四个命题：

① 对任意实数\(k\)与\(\theta\)，直线\(l\)和圆\(M\)相切；

② 对任意实数\(k\)与\(\theta\)，直线\(l\)和圆\(M\)有公共点；

③ 对任意实数\(\theta\)，必存在实数\(k\)，使得直线\(l\)和圆\(M\)相切；

④ 对任意实数\(k\)，必存在实数\(\theta\)，使得直线\(l\)与圆\(M\)相切．

其中真命题的代号是______．（写出所有真命题的代号）

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