设函数\(f(x)=2ax^2+bx-3a+1\)满足对于任意\(x\in [-4,4]\)，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，则\(5a+b\)的最小值是_______．
在半径为\(2\)的球面上有三个点\(A,B,C\)，求\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)的取值范围．
本题为2013年广东省深圳市高三年级第二次调研考试理科数学第21题．
定义\(\rho (x,y)=\left|{\mathrm e}^x-y\right|-y\left|x-\ln y\right|\)，其中\(x\in\mathcal R\)，\(y\in\mathcal R^+\)．
（1）若\(a>0\)，\(f(x)=\rho (x,a)\)，求\(f(x)\)在定义域内的零点的个数；
（2）设\(0<a<b\)，函数\(F(x)=\rho (x,a)-\rho (x,b)\)，求\(F(x)\)的最小值；
（3）设（2）中最小值为\(T(a,b)\)，若各项都是正数的无穷数列\(\left\{a_n\right\}\)单调递增，证明：对一切正整数\(n\)，均有\[\sum_{i=1}^{n}{T\left(a_i,a_{i+1}\right)}<\left(a_{n+1}-a_1\right)\ln 2.\]
已知数列\(\left\{x_n\right\}\)和\(\left\{y_n\right\}\)满足\(x_0=5\)，\(y_0=2\)，以及\[\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}\]求\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\)以及\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n\)．
已知椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)，\(D\)为其左顶点．若存在直线\(l\)过点\(M(t,0)\)，其中\(-2<t<2\)交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，使\(S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}\)，则称\(M\)为\(\lambda\)分点．
（1）求证：\(M(1,0)\)是\(1\)分点；
（2）求证：\(M(1,0)\)不是\(2\)分点．
已知函数\(f(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1\)，\(x\in\mathcal R\)．若方程\(f(x)+|x-a|=0\)有且仅有两个不相等的实根，则实数\(a\)的取值范围为________．
已知函数\(f(x)=a-\dfrac{1}{x}-\ln x\)，其中\(a\in\mathcal R\)．
（1）若\(a=2\)，求\(f(x)\)在\(\left(1,{\mathrm e}^2\right)\)上零点的个数；
（2）若\(f(x)\)恰有一个零点，求\(a\)的取值集合；
（3）若\(f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2\)，且\(x_1<x_2\)，求证：\(2<x_1+x_2<3{\mathrm e}^{a-1}-1\)． 继续阅读
今天要吐槽的是2015年北京市东城区高三二模数学理科的第18题：
已知函数\(f(x)=x+a\cdot {\mathrm e}^{-x}\)．
（1）当\(a={\mathrm e}^2\)时，求函数\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的最小值；
（2）求证：存在实数\(x_0\in [-3,3]\)，有\(f(x_0)>a\)．
如图，已知正方形\(ABCD\)的边长为\(2\)，点\(E\)为\(AB\)的中点．以\(A\)为圆心，\(AE\)为半径，作弧交\(AD\)于点\(F\)．若\(P\)为劣弧\(EF\)上的动点，则\(\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}\)的最小值为_______．
已知数列\(\left\{x_n\right\}\)满足\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(x_n-x_{n-2}\right)=0\)，求证：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{n}=0\)．
证明：设\(y_n=x_n-x_{n-1}\)，\(n\in \mathcal N^*\)，则原问题转化为已知\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(y_n+y_{n-1}\right)=0\)，求证：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{y_n}{n}=0\)．
根据已知，有\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N(\varepsilon)\in\mathcal N^*\)，使得当\(n>N\)时，均有\[\left|y_n+y_{n-1}\right|<\dfrac 12\varepsilon,\]此时有\[y_n=\left(y_n+y_{n-1}\right)+(-1)\left(y_{n-1}+y_{n-2}\right)+(-1)^2\left(y_{n-2}+y_{n-3}\right)+\cdots+(-1)^{n-N-1}\left(y_{N+1}+y_{N}\right)+(-1)^{n-N}y_N,\]从而\[\left|y_n\right|\leqslant \dfrac 12(n-N)\varepsilon+\left|y_N\right|,\]从而\[\dfrac{\left|y_n\right|}{n}\leqslant \dfrac 12\varepsilon -\dfrac{N}{2n}\varepsilon+\dfrac{\left|y_N\right|}{n}<\dfrac 12\varepsilon +\dfrac{\left|y_N\right|}{n},\]此时只需要取\(N_0=\max\left\{N(\varepsilon,\left[\dfrac{2\left|y_N\right|}{\varepsilon}\right]+1\right\}\)即可使得\[\dfrac{\left|y_n\right|}{n}<\varepsilon,\]因此\[\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left|y_n\right|}{n}=0,\]进而原命题得证．
