每日一题[109] 举重若轻

已知函数\[f(x)=1+x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\cdots-\dfrac{x^{2014}}{2014}+\dfrac{x^{2015}}{2015},\]若函数\(f(x)\)的零点都在区间\([a,b]\)(其中\(a<b\)且\(a,b\in\mathcal Z\))内,则\(b-a\)的最小值为_______.


 

cover正确的答案是\(1\).

注意到\[\begin{split}f'(x)&=1-x+x^2-x^3+\cdots-x^{2013}+x^{2014}\\&=\begin{cases}2015,&x=-1\\\dfrac{1+x^{2015}}{1+x},&x\neq -1.\end{cases}\end{split}\]因此\(f(x)\)在\(\mathcal R\)上单调递增.

考虑到\[f(-1)<0\land f(0)>0,\]于是\(f(x)\)的所有零点都在区间\([-1,0]\)内,因此\(b-a\)的最小值为\(1\).

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