这是2014年辽宁卷的第14小题：
已知函数\(f(x)=\left|x^2+3x\right|\)，若方程\(f(x)-a|x-1|=0\)恰有\(4\)个互异的实数根，则实数\(a\)的取值范围是________．
函数是一种特殊的方程．对方程进行其当的代数变形，使得其中的一边获得优化，而另外一边不会因此变得无法进行下一步处理是我们应对方程的惯用方法．下面通过一组例题说明恰当的代数变形对解函数题的重要帮助．
这是2014年12月11日，我的学生朱怡洁问我的一道圆锥曲线试题：
已知\(A\)，\(B\)为椭圆\(\dfrac {x^2}8+\dfrac {y^2}2=1\)上的两点，弦\(AB\)的长为\(\dfrac 83\)，求三角形\(AOB\)的面积范围．
如果用常规的方法解运算繁杂，有没有运算较为简便的方法呢？
这是我的学生朱怡洁提出的问题：
\(n\)为正整数，\(a_i\in \mathbf C\)，对集合\(\{1,2,\cdots,n\}\)的任意非空子集\(I\)，都有\[\left|\prod _{j\in I}(1+a_j)-1\right|\leqslant \frac 12.\]证明：\(\sum|a_i|\leqslant 3\)．
2014年的安徽卷理科数学解析大题（第19题）是：
如图，已知两条抛物线\(E_1:y^2=2p_1x(p_1>0)\)和\(E_2:y^2=2p_2x(p_2>0)\)，过原点\(O\)的两条直线\(l_1\)和\(l_2\)，\(l_1\)与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(A_1\)，\(A_2\)两点，\(l_2\)与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(B_1\)，\(B_2\)两点． 
(I) 证明：\(A_1B_1 \parallel A_2B_2\)；
(II) 过\(O\)作直线\(l\)（异于\(l_1\)，\(l_2\)）与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(C_1\)，\(C_2\)两点．记\(\triangle A_1B_1C_1\)与\(\triangle A_2B_2C_2\)的面积分别为\(S_1\)与\(S_2\)，求\(\dfrac {S_1}{S_2}\)的值． 继续阅读
将标有数字1到10的十张扑克牌平均分给汤姆和杰瑞，每人各5张．假定汤姆理牌的顺序是从小到大，而杰瑞的理牌顺序恰好相反．然后两人按顺序出5轮牌，记录每一轮双方出牌的数字之差（用大的减去小的），你会发现无论最开始如何分配扑克牌，最后这5个差之和始终为定值25．这是为什么呢？
这是学生朱怡洁问我的一道题目：
设点\(A(x_0,y_0)\)为椭圆\(C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上的一点，\(B,C,D\)分别为点\(A\)关于\(x\)轴，原点，\(y\)轴对称的点．\(E\)为椭圆上一点，且使\(AE\perp AC\)，\(BD\)与\(CE\)交于点\(G\)．
(1) 求\(G\)的轨迹；
(2) 若\(\left(a^2+b^2\right)^3=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\)，椭圆上一条弦\(A_1B_1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，求\(\angle A_1OB_1\)．
