这是我在数海拾贝读者群里面看到的一道题：
设已知函数\(f(x)=\left|x-a\right|-\dfrac 4x+a,a\in\mathcal{R}\)．是否存在实数\(a\)，使得\(f(x)=3\)有且仅有\(3\)个不等实根，且它们成等差数列．若存在，求出所有\(a\)的值，若不存在，说明理由．
1、平面上的三角形$ABC$中，$AC=6$，$BC=7$，$\cos A=\dfrac 15$，$I$是三角形$ABC$的内心，若$\overrightarrow {IP}=x\overrightarrow {IA}+y\overrightarrow {IB}$，其中$x,y\in [0,1]$，则动点$P$的轨迹形成的面积是_______．
如图，\(E\)是正方形\(ABCD\)边\(CD\)上一动点，\(BE\)的垂直平分线交对角线\(AC\)于点\(G\)，垂足为\(H\)，连接\(BG\)，并延长交\(AD\)于\(F\)，连接\(EF\)，若\(AC=2\sqrt 2\)，则\(\triangle DEF\)的周长为 ．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一个问题，由江苏无锡王举老师提供．
已知函数$f(x)=\left|x^2-a\right|$，其中$a>0$．若恰好有两组解$(m,n)$使得$f(x)$在定义域$[m,n]$上的值域也为$[m,n]$，求实数$a$的取值范围．
设函数$f(x)=1-{\rm e}^{-x}$．
（1）证明：当$x>-1$时，$f(x)\geqslant \dfrac{x}{x+1}$；
（2）设当$x \geqslant 0$时，$f(x)\leqslant \dfrac{x}{ax+1}$，求$a$的取值范围．
在角含半角模型之90°含45°（一）中我们知道当\(\angle EBF=45^\circ\)时，\(EB\)平分\(\angle AEF\)；反之，若$EB$平分$\angle AEF$，则$\angle EBF=45^\circ$．证明如下图．作\(BH\perp EF\)，则\(BH=BA=BC\)，从而得证．
接下来我们看看这一结论的应用．
例题 正方形\(ABCD\)中，\(M\)为边\(AD\)上一动点（不与\(A、D\)重合），作等腰梯形\(BMNC\)，其中\(BM\parallel CN\)，\(BC=MN\)，\(AB=1\)，\(AM=x\)，\(CP=y\)，求\(y\)关于\(x\)的函数关系式．
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2015年北京市海淀区高三期中理科数学第20题（压轴题）：
已知$x$为实数，用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，例如$[1.2]=1$，$[-1.2]=-2$，$[1]=1$．
对于函数$f(x)$，若存在$m\in\mathcal R\land m\notin\mathcal Z$，使得$f(m)=f([m])$，则称函数$f(x)$是$\Omega$函数．
（1）判断函数$f(x)=x^2-\dfrac 13x$，$g(x)=\sin\pi x$是否是$\Omega$函数；（只需写出结论）
（2）设函数$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的周期函数，其最小正周期是$T$，若$f(x)$不是$\Omega$函数，求$T$的最小值；
（3）若函数$f(x)=x+\dfrac ax$是$\Omega$函数，求$a$的取值范围．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
如图，在平面直角坐标系$xOy$中，圆$C_1:x^2+y^2=4$，圆$C_2:x^2+y^2=16$，点$M(1,0)$，动点$P$、$Q$分别在圆$C_1$和圆$C_2$上，满足$MP\perp MQ$，则线段$PQ$的取值范围是_______．
2015年北京市海淀区高三期中理科数学试题第14题：
对于数列$\{a_n\}$，若对任意$m,n\in\mathcal N^*\land m\neq n$，都有$\dfrac{a_m-a_n}{m-n}\geqslant t$（$t$为常数）成立，则称数列$\{a_n\}$具有性质$P(t)$．
（1）若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n$，且具有性质$P(t)$，则$t$的最大值为_______；
（2）若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-\dfrac an$，且具有性质$P(10)$，则实数$a$的取值范围是_______．
