2015年高考四川卷理科数学第10题、文科数学第10题（选择压轴题）：
设直线\(l\)与抛物线\(y^2=4x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，与圆\((x-5)^2+y^2=r^2\)（\(r>0\)）相切于点\(M\)，且\(M\)为线段\(AB\)的中点．若这样的直线\(l\)恰有\(4\)条，则\(r\)的取值范围是（ ）
A．\((1,3)\)
B．\((1,4)\)
C．\((2,3)\)
D．\((2,4)\)
2015年高考陕西卷理科数学第21题（压轴题）：
设\(f_n(x)\)是等比数列\(1,x,x^2,\cdots,x^n\)的各项和，其中\(x>0\)，\(n\in\mathcal N\)，\(n\geqslant 2\)．
（1）证明： 函数\(F_n(x)=f_n(x)-2\)在\(\left(\dfrac 12,1\right)\)内有且仅有一个零点（记为\(x_n\)），且\(x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}\)；
（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为\(g_n(x)\)，比较\(f_n(x)\)和\(g_n(x)\)的大小，并加以证明．
2015年高考陕西卷理科数学第12题（选择压轴题）：
对二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\)为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．\(-1\)是\(f(x)\)的零点
B．\(1\)是\(f(x)\)的极值点
C．\(3\)是\(f(x)\)的极值
D．点\((2,8)\)在曲线\(y=f(x)\)上
2015年高考湖北卷理科数学第22题（压轴题）：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的各项均为正数，\(b_n=n\left(1+\dfrac 1n\right)^na_n\)（\(n\in\mathcal N^*\)），\(\rm e\)为自然对数的底数．
（1）求函数\(f(x)=1+x-{\rm e}^x\)的单调区间，并比较\(\left(1+\dfrac 1n\right)^n\)与\(\rm e\)的大小；
（2）计算\(\dfrac {b_1}{a_1}\)，\(\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}\)，\(\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}\)，并由此推测计算\(\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}\)的公式，并给出证明；
（3）令\(c_n=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}\)，数列\(\{a_n\}\)，\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和分别记为\(S_n\)，\(T_n\)，证明：\(T_n<{\rm e}S_n\)．
2012年高考浙江卷理科数学第8题：
如图，\(F_1\)、\(F_2\)分别是双曲线\(C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点，\(B\)是虚轴的端点，直线\(F_1B\)与\(C\)的两条渐近线分别交于\(P\)、\(Q\)两点，线段\(PQ\)的垂直平分线与\(x\)轴交于点\(M\)．若\(MF_2=F_1F_2\)，则\(C\)的离心率为_______．
正确答案是\(\dfrac{\sqrt 6}2\)．
解 根据题意，设\(F_1(-c,0)\)，则\(M(3c,0)\)．直线\(PQ\)的斜率为\[\frac{y_B-y_{F_1}}{x_B-x_{F_1}}=\frac bc,\]根据一般圆锥曲线的“垂径定理”，直线\(ON\)斜率满足\[k_{PQ}\cdot k_{ON}=\frac {b^2}{a^2},\]于是直线\(ON\)的斜率为\(\dfrac{bc}{a^2}\)．另一方面，直线\(MN\)的斜率为\(-\dfrac cb\)．因此设点\(N(x,y)\)，则\[\begin{cases}\dfrac y{x+c}=\dfrac bc,\\\dfrac yx=\dfrac{bc}{a^2},\\\dfrac{y}{x-3c}=-\dfrac cb,\end{cases}\]从中消去\(x\)、\(y\)得\[\frac{a^2}{bc}-\frac{3b}{c}=-\frac bc,\]整理得\[3c^2=2a^2,\]从而离心率\[e=\frac{\sqrt 6}2.\]
2015年高考湖北卷理科数学第21题（解析几何大题）：
一种作图工具如图所示．\(O\)是滑槽\(AB\)的中点，短杆\(ON\)可绕\(O\)转动，长杆\(MN\)通过\(N\)处铰链与\(ON\)连接，\(MN\)上的栓子可沿滑槽\(AB\)滑动，且\(DN=ON=1\)，\(MN=3\)．当栓子\(D\)在滑槽\(AB\)内作往复运动时，带动\(N\)绕\(O\)转动一周（\(D\)不动时，\(N\)也不动），\(M\)处的笔尖画出的曲线记为\(C\)．以\(O\)为原点，\(AB\)所在的直线为\(x\)轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线\(C\)的方程；
（2）设动直线\(l\)与两定直线：\(l_1:x-2y=0\)和\(l_2:x+2y=0\)分别交于\(P\)、\(Q\)两点．若直线\(l\)总与曲线\(C\)有且只有一个公共点，试探究：\(\triangle OPQ\)的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
2015年高考数学湖北卷理科数学第14题（填空压轴题）：
如图，圆\(C\)与\(x\)轴相切于点\(T(1,0)\)，与\(y\)轴正半轴交于两点\(A\)、\(B\)（\(B\)在\(A\)的上方），且\(AB=2\)．
（1）圆\(C\)的标准方程为_______；
（2）过点\(A\)任作一条直线与圆\(O:x^2+y^2=1\)相交于\(M\)、\(N\)两点，下列三个结论：
① \(\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{MA}{MB}\);
② \(\dfrac{NB}{NA}-\dfrac{MA}{MB}=2\)；
③ \(\dfrac{NB}{NA}+\dfrac{MA}{MB}=2\sqrt 2\)．
其中正确结论的序号是_______．（写出所有正确结论的序号）
2015年高考湖北卷理科数学第10题（选择压轴题）：
设\(x\in\mathcal R\)，\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．若存在实数\(t\)，使得\([t]=1\)，\(\left[t^2\right]=2\)，\(\cdots\)，\(\left[t^n\right]=n\)同时成立，则正整数\(n\)的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2015年高考湖南卷理科数学第21题（压轴题）：
已知\(a>0\)，函数\(f(x)={\rm e}^{ax}\sin x\)（\(x\in [0,+\infty)\)）．记\(x_n\)为\(f(x)\)的从小到大的第\(n\)（\(n\in\mathcal N^*\)）个极值点，证明：
（1）数列\(\left\{f(x_n)\right\}\)是等比数列；
（2）若\(a\geqslant\dfrac{1}{\sqrt{{\rm e}^2-1}}\)，则对一切\(n\in \mathcal N^*\)，\(x_n<\left|f(x_n)\right|\)恒成立．
2015年高考湖南卷理科数学第10题（选择压轴题）、文科数学第10题与之类似：
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）
A．\(\dfrac 8{9\pi}\)
B．\(\dfrac{16}{9\pi}\)
C．\(\dfrac{4\left(\sqrt 2-1\right)^3}{\pi}\)
D．\(\dfrac{12\left(\sqrt 2-1\right)^3}{\pi}\)
