卡特兰（Catalan）数来源于卡特兰解决凸$n+2$边形的剖分时得到的数列$C_n$，在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍．卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法，堪称计数的映射方法的典范．为了便于读者理解，我们先介绍一些卡特兰问题的简单变形，再介绍卡特兰问题及其解法．
函数的零点问题常见的处理思路有两种，一种思路是将一个函数的零点问题转化成两个（较简单的）函数的交点问题，再结合图象进行判断，需要注意的是函数本身可以进行适当的代数变形以使得转化成的两个函数的草图更容易作出；另一种思路是将这个函数作为整体进行考虑，借助这个函数的性质直接得到结果，有时函数的性质需要借助导数去研究．
2014年湖南高考理科第10题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)=x^2+{\mathrm e}^x-\dfrac 12,x<0\)与\(g(x)=x^2+\ln(x+a)\)的图象上存在关于\(y\)轴对称的点，则\(a\)的取值范围是_______．
对于两个有限集合$M$、$N$，如果我们能够建立单射$f:M \to N$，那么${\rm{card}}(N)$（其中${\rm{card}}$表示有限集合中元素的数目）．进一步，如果我们能够证明$f$是满射，那么就可以得到${\rm{card}}(M )={\rm{card}}(N)$．这一简单结论在组合计数中应用很广泛，举例如下．
已知$\{a_n\}$是等差数列，$S_n$为其前$n$项和．若正整数$i,j,k,l$满足$i\leqslant k \leqslant l \leqslant j$，且$i+j=k+l$，则（ ）
A．$a_ia_j\leqslant a_ka_l$
B．$a_ia_j\geqslant a_ka_l$
C．$S_iS_j\leqslant S_kS_l$
D．$S_iS_j\geqslant S_kS_l$
这是我在中学数学解题交流群中看到的问题：
已知$f(x)$为可导函数，$f'(x)$为$f(x)$的导函数，$f\left(\dfrac 12\right)=\ln 2-\dfrac 12$，且$$xf'(x)-f(x)=\dfrac{4x^2\ln x}{4x+\frac{1}{2\ln 2-1}-1},$$则$f(x)$（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
下面是一道导数小题：
已知函数$f(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12bx^2+cx+d$在区间$(0,1)$上既有极大值又有极小值，则$c^2+(1+b)c$的取值范围是_______．
2015年北京市人大附中高二期中复习题（原题为选择题）：
正四面体$ABCD$的棱长为$1$，平面$\alpha$是与棱$AB$平行的平面，$E$、$F$分别是棱$AD$和$BC$的中点，以$AB$为轴将正四面体$ABCD$旋转一周，线段$EF$在平面$\alpha$上的射影$E_1F_1$长的范围是_______．
下面这道题目是我以前在三轮复习讲义中设置的一道习题，原意是让学生练习对称最值问题的快速解法．
题目 已知三角形$ABC$的三条边对应为$a$、$b$、$c$，且$a+b+c=10$，$\cos C=\dfrac 78$，则三角形$ABC$面积的最大值为_______．
正确答案是$\sqrt {15}$．
在学生得到答案后进行严格的推理证明时出现了颇多问题，列举如下．
2010年北京市西城区一模理科数学第8题（选择压轴题）：
如图，平面$\alpha$与平面$\beta$垂直，直线$l$为两个平面的交线．$A$、$C$是平面$\alpha$内不同的两点，$B$、$D$是平面$\beta$内不同的两点，且$A,B,C,D\not\in l$，$M$、$N$分别是线段$AB$、$CD$的中点，下列判断正确的是（ ）
A．当$|CD|=2|AB|$时，$M$、$N$两点不可能重合
B．$M$、$N$两点可能重合，但此时直线$AC$与直线$l$不可能相交
C．当$AB$与$CD$相交，直线$AC$平行于$l$时，直线$BD$可以与$l$相交
D．当$AB$、$CD$是异面直线时，$MN$可能与$l$平行
