每日一题[170] 化椭为圆

2015年高考山东卷理科数学第20题(解析几何大题):

平面直角坐标系\(xOy\)中,已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\),左、右焦点分别是\(F_1\)、\(F_2\).以\(F_1\)为圆心,以\(3\)为半径的圆与以\(F_2\)为圆心,以\(1\)为半径的圆相交,且交点在椭圆\(C\)上.

QQ20150707-2

(1)求椭圆\(C\)的方程;

(2)设椭圆\(E:\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}=1\),\(P\)为椭圆\(C\)上任意一点,过点\(P\)的直线\(y=kx+m\)交椭圆\(E\)于\(A\)、\(B\)两点,射线\(PO\)交椭圆\(E\)于点\(Q\).① 求\(\dfrac{|OQ|}{|OP|}\)的值;② 求\(\triangle ABQ\)面积的最大值.


cover(1)    显然椭圆\(C\)的长轴长为\(4\),于是方程为\(\dfrac{x^2}4+y^2=1\).

(2)    ① \(2\);

QQ20150707-3

② 如图,将椭圆\(C\)和椭圆\(E\)伸缩变换为圆\(C':x^2+y^2=4\)和圆\(E':x^2+y^2=16\).设变换后\(AB\)与\(PQ\)所成角为\(\theta\),原点\(O\)到直线\(AB\)距离为\(d\),则\[\begin{split}S_{\triangle QAB}&=\dfrac 12\sin\theta \cdot AB\cdot PQ\\&=\dfrac 12 \cdot \dfrac{d}2\cdot 2\sqrt{4^2-d^2}\cdot 6\\&=3\sqrt{d^2\left(16-d^2\right)},\end{split}\]由于\(0\leqslant d^2\leqslant 4\),于是当\(d^2=4\)时,三角形\(QAB\)的面积取得最大值为\(12\sqrt 3\).于是变换前三角形\(QAB\)面积的最大值为\(6\sqrt 3\).

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每日一题[170] 化椭为圆》有 2 条评论

  1. Math wow说:

    在化圆这个过程中。焦点需要改变么

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