这是在QQ群中国数学解题研究会中热议的一道最值问题：
已知$a,b,c>0$，且$a^2+b^2+4c^2=1$，求$ab+2ca+3\sqrt 2bc$的最大值．
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从本质角度理解函数的性质
函数的性质本质上指当自变量满足某些关系时，函数值是否随之满足某些关系．具有某种性质的函数，会同时反应在函数的解析式与函数的图象上，借助于性质的本质，解析式满足的关系与图象满足的特征之间可以很好地对应起来．
求带系数的线段和极值问题
平面直角坐标系中，\(A(2\sqrt 2,2)\)，点\(Q\)是\(y\)轴上的动点，求\(AQ+\dfrac 13QO\)的最小值． 继续阅读
每日一题[300] 避繁就简
已知函数$f(x)=a\ln x+\dfrac 1x+\dfrac 1{2x^2}$，$a\in\mathcal R$．
（1）讨论函数$f(x)$的单调性；
（2）证明：$(x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2\ln x<\dfrac 23$．
代数不等式的证明一则
证明：$\left( a^2+2\right)\left( b^2+2\right) \left( c^2+2\right) \geqslant 9(ab+bc+ca)$．
倍长中线方法的应用
如图，已知\(\triangle ABC\)是等边三角形，\(\triangle BDE\)是等腰三角形，且\(BD=DE\)，\(\angle BDE=120^\circ\)，取\(AE\)的中点\(F\)，连接\(DF,CF\)．求证：\(CF\perp DF\)，且\(CF=\sqrt 3 DF\)．
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每日一题[299] 分段与分离相遇
2015年北京市海淀区高三期中理科数学第8题（选择压轴题）：
已知函数$f(x)=\begin{cases} -1,x\leqslant -1,\\x,-1<x<1,\\1,x \geqslant 1,\end{cases} $函数$g(x)=ax^2-x+1$．若函数$y=f(x)-g(x)$恰好有$2$个不同零点，则实数$a$的取值范围是（ ）
A．$(0,+\infty ) $
B．$(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$
C．$\left( -\infty ,-\dfrac 12\right) \cup (1,+\infty )$
D．$(-\infty ,0)\cup (0,1)$
征解问题[18] 递推数列（已解决）
某校举行百年校庆的庆典活动，在某项仪式中，要求在操场事先画好的$2\times n$的带型网格中插上小红旗，并且每个$1\times 1$的方格最多插$1$面旗，任何$2\times 2$的“田”字格中不能插满旗．以$a_n$来表示满足条件的不同的插红旗的方法数，例如，$a_1$表示在$2\times 1$的网格中插红旗所有满足要求的方法数，易知$a_1=4$．
（1）求$a_2$，$a_3$；
（2）求证：$a_n$（$n \geqslant 2\land n\in \mathcal N$）是$3$的倍数；
（3）当$n=2015$时，若$a_{2015}=3^k\cdot m$（$k,m\in\mathcal N^*$），求$k$的最大值． 继续阅读