每日一题[172] 三角形的面积与高

2015年高考上海卷理科数学第14题(填空题压轴):

在锐角三角形\(ABC\)中,\(\tan A=\dfrac 12\),\(D\)为\(BC\)上的点,\(\triangle ABD\)与\(\triangle ACD\)的面积分别为\(2\)和\(4\),过\(D\)作\(DE\perp AB\)于\(E\),\(DF\perp AC\)于\(F\),则\(\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=\)_______.QQ20150709-1


cover正确答案是\(-\dfrac{16}{15}\).

注意到\(\overrightarrow{DE}\)和\(\overrightarrow{DF}\)的夹角为\(\pi-A\),因此问题的关键在于求\(DE\cdot DF\),而\(DE\)、\(DF\)的“身份”分别为\(\triangle ABD\)和\(\triangle ADC\)的高,因此有\[\begin{split}\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}&=DE\cdot DF\cdot\cos (\pi -A)\\&=\dfrac{2\triangle ABD}{AB}\cdot\dfrac{2\triangle ADC}{AC}\cdot\left(-\dfrac{2}{\sqrt 5}\right)\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{1}{AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{\triangle ABC}{6 \cdot AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{\dfrac 12\sin A}{6}\\&=-\dfrac{16}{15}.\end{split}\]

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