倍长中线方法的应用

如图,已知\(\triangle ABC\)是等边三角形,\(\triangle BDE\)是等腰三角形,且\(BD=DE\),\(\angle BDE=120^\circ\),取\(AE\)的中点\(F\),连接\(DF,CF\).求证:\(CF\perp DF\),且\(CF=\sqrt 3 DF\).19


分析    结合问题我们把结论转化成证明\(\triangle DCQ\)为等边三角形或者证明\(\triangle DCP\)为顶角是\(120^\circ\)的等腰三角形.21-2证明    如图,倍长\(DF\)到\(Q\),使\(FQ=DF\),则四边形\(ADEQ\)是平行四边形.20-2所以\[AQ=DE=BD,DE\parallel AQ.\]20所以\[\angle AGB=\angle GDE=\angle ACB=60^\circ.\]所以\[\angle QAC=\angle DBC.\]20-1所以\[\triangle BDC\cong \triangle AQC. \]故\(\triangle QCD\)为等边三角形,得证.


此题倍长中线容易想到,证明三角形全等时夹角相等的证明是难点.其实就是一个“8”字,需要将要证等角的两边延长相交,借助平行线性质来解决.

下面我们给出一道练习
(2015 福建莆田几何压轴题)在\(\mathrm{Rt}\triangle ACB\)和\(\mathrm{Rt}\triangle AEF\)中,\(\angle ACB=\angle AEF=90^\circ\),将\(\triangle AEF\)绕着点\(A\)顺时针旋转,当点\(F\)落在边\(AB\)上时,若点\(P\)是\(BF\)的中点,连接\(PC,PE\),试说明\(PC,PE\)的数量关系.21-3提示21-5

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