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2015年上海市普陀区一模数学试卷第18题（选择压轴题）：

若在边长为\(1\)的正三角形\(ABC\)边\(BC\)上有\(n\)（\(n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2\)）等分点，沿向量\(\overrightarrow{BC}\)的方向依次为\(P_1,P_2,\cdots,P_{n-1}\)，记\[T_n=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_1}+\overrightarrow{AP_1}\cdot\overrightarrow{AP_2}+\cdots+\overrightarrow{AP_{n-1}}\cdot\overrightarrow{AC},\]若给出四个数值：

① \(\dfrac{29}4\)；② \(\dfrac{91}{10}\)；③ \(\dfrac{197}{18}\)；④ \(\dfrac{232}{33}\)，

则\(T_n\)的值不可能的共有（        ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

正确答案是 D．

解    由于以\(A\)为起点时各个向量的夹角未知，因此考虑将问题转化为以\(B\)为起点的．

记\(\overrightarrow{BA}=\bf a\)，\(\overrightarrow{BP_1}=\bf b\)，则\[\begin{split}T_n&={\bf a}\cdot({\bf a}-{\bf b})+({\bf a}-{\bf b})\cdot ({\bf a}-2{\bf b})+\cdots+\left[{\bf a}-(n-1){\bf b}\right]\cdot\left({\bf a}-n{\bf b}\right)\\&=n\cdot ({\bf a}\cdot{\bf a})-\left[1+3+\cdots+(2n-1)\right]\cdot({\bf a}\cdot {\bf b})-\left[1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+(n-1)n\right]\cdot ({\bf b}\cdot{\bf b})\\&=n-n^2\cdot \dfrac {1}{2n}+\dfrac 13(n-1)n(n+1)\cdot \dfrac{1}{n^2}\\&=\dfrac{5n^2-2}{6n},\end{split}\]其中用到了裂项\[(n-1)n=\dfrac 13\left[(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n\right].\]

接下来进行验证，注意到若\(\dfrac{5n^2-2}{6n}=r\)，则\[\dfrac 65r<n<\dfrac 65r+1,\]于是只需要验证\(n=9,11,14\)的情况．

事实上，\(T_9=\dfrac{403}{54}\)，\(T_{11}=\dfrac{201}{22}\)，\(T_{14}=\dfrac{163}{14}\)，于是给出的四个数值均不可能为\(T_n\)的取值．

注一    上海市的高考试卷先是填空题，然后是选择题，所以第18小题是选择题．

注二    上海市高考允许使用计算器，因此很多运算可以依靠计算器完成．