已知$A,B$分别是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的上顶点和下顶点，$F$为椭圆$E$的右焦点．过$F$作直线$l$分别与椭圆交于$C,D$，与$y$轴交于点$P$．直线$AC$和$BD$交于点$Q$，求证：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$为定值．
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2016年北京大学数学学科夏令营初赛试题
本试卷共4题，每题30分，满分120分，考试时间180分钟．
1、 已知锐角$\triangle ABC$中，$\angle B=60^\circ$，$P$为$AB$中点，$Q$为外接圆上弧$AC$(不包含点$B$)的中点，$H$为$\triangle ABC$的垂心．如果$P,H,Q$三点共线，求$\angle A$．
光线反射与最值
大自然中有很多精妙之处，比如蜂巢的结构可以使得蜜蜂用最少的材料造出最大的空间，比如光总是沿直线传播，即使在物体表面反射后，所走路线仍然是最短的．在数学中，最短距离问题往往可以通过某种对称，转化为两点之间的距离最短的问题．比如从初中开始，我们就很熟悉的这样的问题：已知点$A(2,2)$和点$B(-3,8)$，在$x$轴上求一点$M$，使得$|AM|+|BM|$取最小值． 继续阅读
每日一题[539]取等条件
设$a,b,c,d\in\mathcal R$，且$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，求$$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$$的最小值．
初高衔接[1]乘法公式与因式分解
初中时，我们熟悉完全平方公式$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,$$与平方差公式$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$ 继续阅读
每日一题[537]直线的参数方程
设$P,Q$是抛物线$C:y^2=2px$($p>0$)上的不同两点，抛物线$C$在$P,Q$处的切线交于点$M$．过$M$作直线$l$与抛物线交于点$A,B$，与直线$PQ$交于点$K$，求证：$\dfrac{MK}{MA}+\dfrac{MK}{MB}$为定值．
每日一题[536]迭代函数法
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}-1$，求证：$$a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1}<\dfrac 12n+\dfrac 23.$$
每日一题[535]缩小包围圈
已知函数$f(x)={\rm e}^x(x^2+ax+a)$．
（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；
（2）若关于$x$的不等式$f(x)\leqslant {\rm e}^{a}$在$[a,+\infty)$上有解，求实数$a$的取值范围；
（3）若曲线$y=f(x)$存在两条互相垂直的切线，求实数$a$的取值范围（只需直接写出结果）．
每日一题[534]函数图象与曲线
已知$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的周期为$2$的偶函数，且当$x\in [0,1]$时，$f(x)=x+1$，则方程$f^2(x)+f(x)=x$的根的个数为_______．