证明：$\left( a^2+2\right)\left( b^2+2\right) \left( c^2+2\right) \geqslant 9(ab+bc+ca)$．
如图，已知\(\triangle ABC\)是等边三角形，\(\triangle BDE\)是等腰三角形，且\(BD=DE\)，\(\angle BDE=120^\circ\)，取\(AE\)的中点\(F\)，连接\(DF,CF\)．求证：\(CF\perp DF\)，且\(CF=\sqrt 3 DF\)．
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2015年北京市海淀区高三期中理科数学第8题（选择压轴题）：
已知函数$f(x)=\begin{cases} -1,x\leqslant -1,\\x,-1<x<1,\\1,x \geqslant 1,\end{cases} $函数$g(x)=ax^2-x+1$．若函数$y=f(x)-g(x)$恰好有$2$个不同零点，则实数$a$的取值范围是（ ）
A．$(0,+\infty ) $
B．$(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$
C．$\left( -\infty ,-\dfrac 12\right) \cup (1,+\infty )$
D．$(-\infty ,0)\cup (0,1)$
某校举行百年校庆的庆典活动，在某项仪式中，要求在操场事先画好的$2\times n$的带型网格中插上小红旗，并且每个$1\times 1$的方格最多插$1$面旗，任何$2\times 2$的“田”字格中不能插满旗．以$a_n$来表示满足条件的不同的插红旗的方法数，例如，$a_1$表示在$2\times 1$的网格中插红旗所有满足要求的方法数，易知$a_1=4$．
（1）求$a_2$，$a_3$；
（2）求证：$a_n$（$n \geqslant 2\land n\in \mathcal N$）是$3$的倍数；
（3）当$n=2015$时，若$a_{2015}=3^k\cdot m$（$k,m\in\mathcal N^*$），求$k$的最大值． 继续阅读
三次函数$f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$（$a \ne 0$）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆． 继续阅读
这是我在数海拾贝读者群里面看到的一道题：
设已知函数\(f(x)=\left|x-a\right|-\dfrac 4x+a,a\in\mathcal{R}\)．是否存在实数\(a\)，使得\(f(x)=3\)有且仅有\(3\)个不等实根，且它们成等差数列．若存在，求出所有\(a\)的值，若不存在，说明理由．
1、平面上的三角形$ABC$中，$AC=6$，$BC=7$，$\cos A=\dfrac 15$，$I$是三角形$ABC$的内心，若$\overrightarrow {IP}=x\overrightarrow {IA}+y\overrightarrow {IB}$，其中$x,y\in [0,1]$，则动点$P$的轨迹形成的面积是_______．
如图，\(E\)是正方形\(ABCD\)边\(CD\)上一动点，\(BE\)的垂直平分线交对角线\(AC\)于点\(G\)，垂足为\(H\)，连接\(BG\)，并延长交\(AD\)于\(F\)，连接\(EF\)，若\(AC=2\sqrt 2\)，则\(\triangle DEF\)的周长为 ．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一个问题，由江苏无锡王举老师提供．
已知函数$f(x)=\left|x^2-a\right|$，其中$a>0$．若恰好有两组解$(m,n)$使得$f(x)$在定义域$[m,n]$上的值域也为$[m,n]$，求实数$a$的取值范围．
设函数$f(x)=1-{\rm e}^{-x}$．
（1）证明：当$x>-1$时，$f(x)\geqslant \dfrac{x}{x+1}$；
（2）设当$x \geqslant 0$时，$f(x)\leqslant \dfrac{x}{ax+1}$，求$a$的取值范围．
