Math173

一、概念判断

给出下列命题：

①$\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a\right )\cdot\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a\right )=\left|\overrightarrow a\right |^4$；

②$\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right )\cdot\overrightarrow c=\overrightarrow a\cdot\left(\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c\right )$；

③$\left|\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a\right |\cdot\left|\overrightarrow b\right |$；

④若$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$，$\overrightarrow b\parallel \overrightarrow c$，则$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow c$；

⑤若$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow 0$或$\overrightarrow b=\overrightarrow 0$．

⑥若$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$，则存在唯一的实数$\lambda $，使得$\overrightarrow b=\lambda \overrightarrow a$；

⑦若$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow c=\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c$，且$\overrightarrow c\ne \overrightarrow 0$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow b$；

⑧设$\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$是平面内两个非零的向量，则对于平面内的任意一个向量$\overrightarrow a$，则存在唯一一组实数$x,y$，使得$\overrightarrow a=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}$；

其中正确命题的序号为_____．

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一、范围与最值

（1）函数$f(x)=\dfrac {x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值为_____；

（2）已知正实数$x,y$满足$\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}=4$，则$x+4y$的最小值为_____；

（3）设$\alpha,\beta$是方程$x^2-2kx+k+6=0$的两个实根，则$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2$的最小值为_____；

（4）已知$x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，且$x+2y=1$，则$2x+3y^2$的最小值为_____；

（5）函数$f(x)=\dfrac {2}{\sin^2 x}+\dfrac {8}{\cos^2 x}$的最小值为_____；

（6）已知$a^2+b^2=2$，$x^2+y^2=4$，则$ax+by$的最大值为_____．

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本期是精选的十个高中常（diao）见（zuan）的解不等式问题，包含高次不等式、分式不等式、无理不等式、绝对值不等式、指数不等式与对数不等式．解不等式是高中数学的基本功，而这个系列的十个不等式从诞生之日（当初被虐的同学有的已经大学毕业了）起，还没有遇到一次被全部做对的，你敢挑战一下吗？

解下列不等式：

（1）$(x+2)(x+1)^2(x-1)^3(x-3)\leqslant 0$；

（2）$\dfrac{x^2+x-2}{x^3+7x^2-8x}\geqslant 0$； 

（3）$\dfrac {4}{x-1}\leqslant x-1$；

（4）$\sqrt{x-1}>x-3$；

（5）$\sqrt{2x^2-6x+4}<x+2$；

（6）$(x-1)\sqrt{x+2}\geqslant 0$；

（7）$\left|x^2-4\right |\leqslant x+2$；

（8）$|x+7|+|x-2|<3$；

（9）$\sqrt{0.25^{5-x^2}}<\dfrac {8^x}{2}$；

（10）$\log_{2x}(x^2-5x+6)<1$．

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