Math173

在上周那篇我们看到了参数分离带来的好处，但是对于有些问题来说，参数分离无法奏效，比如参数不容易分离出来或者分离参数后的函数很难处理．此时，可以直接去处理含参的函数，为了得到含参函数的最值，往往需要对参数进行分类，去讨论单调性与最值．

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裂项求和法是将需要求和的数列$\{a_n\}$中的每一项拆成两项之差，如$$a_n=b_{n+1}-b_n,$$从而在求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$时，利用拆项后的中间项相互抵消，剩下首尾的几项，从而得到$S_n$的表达式，即$$S_n=\sum_{k=1}^n{a_k}=\sum_{k=1}^n(b_{k+1}-b_k)=b_{n+1}-b_1.$$我们最常见的裂项形式有：

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已知某含参的函数不等式恒成立，求参数的取值范围是高中一类常见的问题．对于这类问题的处理，有两种常见的思路：一种是分离参数，再去求分离后得到的不含参函数的最值；另一种是不分离参数，直接去处理这个函数．很多问题两种思路的处理难度上差别不大，也有些问题其中一种思路明显优于另一种思路（甚至只有一种思路可以行得通），需要大家解题时先观察判断，解完题多思考总结．我们今天先来看看适合参数分离的问题．比如：

已知不等式$x\ln x\geqslant kx-1$恒成立，求$k$的取值范围．

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裂项求和是数列求和的一种重要方法．但由于对等差数列求和的倒序相加法和对等比数列（差比数列）的错位相减法的深（根）入（深）人（蒂）心（固），会很容易忽略裂项求和也可以应用于这些基本数列的求和．特别是用在差比数列求和问题上，可以大大地简化运算．

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在导数中，我们经常遇到这样的问题，题目条件给出一个与$f(x)$与$f'(x)$都相关的函数不等式，要解决某些与该函数相关的不等式问题，如

定义在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且恒有$f(x)\cdot\tan x<f'(x)$成立，则（　　）

A．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )>\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$

B．$f(1)<2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )\sin 1$

C．$\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )>f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )$

D．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )<f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$

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我们知道，等差数列的前$n$项和具有$S_n=an^2+bn$的形式，其中$a=\dfrac d2$是公差的一半．于是对于一个等差数列来说，我们就可以根据这个形式，再结合首项直接写出和式．比如和式$$1+5+9+\cdots+(4n-3),$$这是一个公差为$4$的等差数列的前$n$项和，所以具有$2n^2+bn$的形式，当$n=1$时，$2n^2=2$，所以$b=-1$，即$$1+5+9+\cdots+(4n-3)=2n^2-n.$$具体求和中，我们需要注意和式是否为前$n$项和，有时需要补项或者去项．为了方便，本文中所有的$n$都是使得和式有意义的整数$n$，不再作特别说明．

例题一　求$A=7+10+13+\cdots+(3n-2)$和$B=19+17+15+\cdots+(11-2n)$的值．

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