每日一题[337]单刀直入

已知满足条件$x^2+y^2\leqslant 1$的点$(x,y)$构成的平面区域的面积为$S_1$,满足条件$[x]^2+[y]^2\leqslant 1$的点$(x,y)$构成的平面区域的面积为$S_2$(其中$[x],[y]$分别表示不超过$x,y$的最大整数),则$S_1$与$S_2$的大小关系是______.


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正确答案是$S_1<S_2$.

 问题的难点在于如何将约束条件$$[x]^2+[y]^2\leqslant 1$$几何化.考虑到$[x]$与$[y]$均为整数,于是可以分类讨论:

1)$[x]=-1$时,$[y]=0$;

2)$[x]=0$时,$[y]=-1,0,1$;

3)$[x]=1$时,$[y]=0$.

而当$[x]=k$时,有$$k\leqslant x<k+1,$$从而每个整点$(m,n)$(其中$[x]=m,[y]=n$)对应这个点右上方的小正方形,如图:

屏幕快照 2015-12-21 上午9.33.23

于是得到满足条件$[x]^2+[y]^2\leqslant 1$的点$(x,y)$构成的平面区域如下:

屏幕快照 2015-12-21 下午5.18.06

容易得到$S_1=\pi<S_2=5$.

在数据比较小时,直接对复杂条件进行分类讨论也是一种值得尝试的方式,简单有效.


下面给出一道练习:

若集合$P=\{0,1,2\}$,集合$Q=\left\{(x,y)\left|\begin{cases} x-y+1>0,\\x-y-2<0,\end{cases} \right.x,y\in P\right \}$,则$Q$中元素的个数是____.

答案 $5$.

提示 集合$Q$中的$y$满足$x-2<y<x+1$,即$x-1\leqslant y\leqslant x$,直接按$x=0,1,2$分类讨论即可.

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