2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题

文科生做前5题,理科生做后5题,每题20分.

1.设关于$x$的方程$\sin^2 x+\cos x+a=0$在实数范围内有解,求实数$a$的取值范围.

2.设$a,b,c$均为正数且$a,b,c$成等差数列,判断$\dfrac 1{\sqrt b+\sqrt c},\dfrac 1{\sqrt c+\sqrt a},\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}$是否成等差数列,并说明理由.

3.设$a,b,c$为实数,证明:对任意实数$x$都有$(x-a)^2+(x-b)^2\geqslant c$当且仅当$(a-b)^2\geqslant 2c$.

4.已知复数$z_1,z_2$满足$z_1$与$z_1+z_2$有相同的模且$\overline{z_1}z_2=a(1-\rm i)$,其中$a$为非零实数,求$\dfrac{z_2}{z_1}$的值.

5.一条直线与双曲线交于$A,B$两点,与此双曲线的渐近线交于$C,D$两点,证明:线段$AC$与$BD$的长度相等.

6.设$\alpha,\beta$均为锐角,满足$\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta=\sin(\alpha+\beta)$,求$\alpha+\beta$的值.

7.已知$\triangle ABC$的面积为$1$,$D,E$分别是边$AB,AC$上的点,$F$为线段$DE$上的一点,设$AD:AB=x,\ AE:AC=y,\ DF:DE=z$且$y+z-x=1$.求$\triangle BDF$的面积的最大值并求出此时$x,y,z$的值.


 

参考答案

1.题中方程有解即$a=-\sin^{2}x-\cos x$有解,从而有$$a=\cos^{2}x-\cos x-1=\left(\cos x-\dfrac 12\right )^{2}-\dfrac 54\in\left[-\dfrac 54,1\right].$$

2.由题意知$b-a=c-b=\dfrac 12(c-a)$,所以$$\dfrac {1}{\sqrt b+\sqrt c}+\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac {\sqrt c-\sqrt b}{c-b}+\dfrac {\sqrt b-\sqrt a}{b-a}=\dfrac {\sqrt c-\sqrt a}{b-a}=\dfrac {\sqrt c-\sqrt a}{\frac 12(c-a)}=\dfrac {2}{\sqrt c+\sqrt a}.$$从而得到$\dfrac 1{\sqrt b+\sqrt c},\dfrac 1{\sqrt c+\sqrt a},\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}$是等差数列.

3.对题中不等式整理得$$2x^{2}-2(a+b)x+(a^{2}+b^{2}-c)\geqslant 0,$$此不等式恒成立当且仅当对应判别式$$\Delta =4(a+b)^{2}-8(a^{2}+b^{2}-c)=4[2c-(a-b)^{2}]\leqslant 0,$$等价于$2c\leqslant (a-b)^{2}$,命题得证.

4.由题意知$$|z_{1}|^2=z_1\overline{z_1}=|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}),$$化简得$$z_2\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}=0.$$因为$\overline{z_1}z_2=a(1-{\rm i})$,所以$z_1\overline{z_2}=a(1+{\rm i})$,代入上面的式子得$z_2\overline{z_2}=-2a$.于是有$$\dfrac {z_2}{z_1}=\dfrac {z_2\overline{z_2}}{z_1\overline{z_2}}=\dfrac {-2a}{a(1+{\rm i})}=-1+{\rm i}.$$

5.以双曲线的中心为原点,以实轴所在直线为$x$轴建立直角坐标系,则双曲线与它的渐近线方程可以表示为$$\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=\lambda,$$其中$\lambda=1$时为双曲线,$\lambda=0$时为渐近线.
设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$,则有$$\begin{cases} \dfrac {x_1^2}{a^2}-\dfrac {y_1^2}{b^2}=1,\\\dfrac {x_2^2}{a^2}-\dfrac {y_2^2}{b^2}=1,\end{cases}$$两式相减得$$\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}-\dfrac {(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0,$$同样有$$\dfrac{(x_3-x_4)(x_3+x_4)}{a^2}-\dfrac {(y_3-y_4)(y_3+y_4)}{b^2}=0,$$因为$A,B,C,D$四点共线,当此直线斜率不存在或者斜率为零时,由双曲线的对称性得$AC=BD$;当此直线的斜率$k$存在且不为零时,有$$\dfrac {y_1+y_2}{x_1+x_2}=\dfrac {y_3+y_4}{x_3+x_4}=\dfrac {b^2}{a^2k},$$即$AB$的中点与$CD$的中点在过原点的同一条直线上,所以它们重合,从而有$AC=BD$.
事实上,此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到.

6.显然当$\alpha +\beta =\dfrac {\pi}{2}$时,等式成立;
由已知条件知$$\sin^2\alpha +\sin^2\beta=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta,$$整理得$$\sin\alpha (\sin\alpha -\cos\beta)=\sin\beta(\cos\alpha -\sin\beta).$$若$\alpha +\beta\ne\dfrac {\pi}{2}$,则有$\sin\alpha-\cos\beta$与$\cos\alpha-\sin\beta$同号.
若它们同为正,则有$$\sin\alpha>\cos\beta=\sin\left(\dfrac {\pi}{2}-\beta\right ),\cos\alpha =\sin\left(\dfrac {\pi}{2}-\alpha \right )>\sin\beta,$$从而有$$\alpha >\dfrac {\pi}{2}-\beta,\dfrac {\pi}{2}-\alpha >\beta,$$无解;
若它们同为负,用类似的方式也可以推导出矛盾.
综上,$\alpha +\beta=\dfrac {\pi}{2}$.

7.如图,连结$BE$:
屏幕快照 2016-08-31 上午9.17.03由三角形的面积公式$S=\dfrac 12ab\sin C$可以得到$$S_{\triangle ADE}=xyS_{\triangle ABC}=xy,S_{\triangle BCE}=(1-y)S_{\triangle ABC}=1-y,$$所以有$$S_{\triangle BDE}=1-xy-(1-y)=y(1-x).$$从而有$$S_{\triangle BDF}=zS_{\triangle BDE}=zy(1-x)\leqslant \left(\dfrac {z+y+1-x}{3}\right )^3=\dfrac {8}{27}.$$当$y=z=1-x$时,即$x=\dfrac 13,y=z=\dfrac 23$时等号成立,此时$\triangle BDF$的面积有最大值$\dfrac {8}{27}$.


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2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题》有 2 条评论

  1. wangmaikesiwei说:

    第七题答案倒数第四行应该是“三角形BDE的面积=y(1-x)”

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