每日一题[610]化椭为圆

过点$T(2,3)$作直线$l$交椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$于两个不同的点$P,Q$,过$P,Q$作椭圆的切线,两条切线交于点$M$,$O$为原点,已知四边形$POQM$的面积为$4$,求直线$l$的方程.


cover分析与解 考虑仿射变换$x=x'$,$y=\dfrac 12y'$,则椭圆变为$x'^2+y'^2=4$,点$T(2,3)$变为$T'(2,6)$.设$P,Q,M$的对应点分别为$P',Q',M'$,则四边形$P'OQ'M'$的面积为$8$.屏幕快照 2016-08-05 上午10.27.22设$O$到直线$P'Q'$的距离为$d$,由射影定理$d\cdot |OM'|=|OP'|^2$,于是$|OM'|=\dfrac 4d$,从而四边形$P'OQ'M'$的面积$$S=\dfrac 12\cdot |P'Q'|\cdot |OM'|=\sqrt{4-d^2}\cdot \dfrac 4d=8,$$解得$d^2=\dfrac 45$.设直线$P'Q':y'=k'(x-2)+6$,则有$$\dfrac{(2k'-6)^2}{1+k'^2}=\dfrac 45,$$解得$k'=2$或$k'=\dfrac{11}{2}$,于是直线$l$的方程为$y=x+1$或$y=\dfrac{11}{4}x-\dfrac 52$.

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每日一题[610]化椭为圆》有1条回应

  1. qhly qhly说:

    呀,两张图片跑丢了(`・ω・´)

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