每日一题[608]动中有静

已知圆$O:x^2+y^2=4$,$F(0,2)$,点$A,B$是圆$O$上的动点,且$|FA|\cdot |FB|=4$,是否存在与动直线$AB$恒相切的定圆,若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.屏幕快照 2016-08-05 上午10.04.49


cover分析与解 法一 参数方程
设$A(2\cos 2\alpha,2\sin 2\alpha)$,$B(2\cos 2\beta,2\sin 2\beta)$,则\[\begin{split} |FA|\cdot |FB|&=\sqrt{(2\cos 2\alpha)^2+(2\sin 2\alpha-2)^2}\cdot \sqrt{(2\cos 2\beta)^2+(2\sin 2\beta-2)^2}\\ &=\sqrt{8-8\sin 2\alpha}\cdot \sqrt{8-8\sin 2\beta}\\ &=8\left|(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)\right|\\ &=8\left|\cos(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)\right|,\end{split} \]另一方面,直线$AB$的方程为$$x\cos(\alpha+\beta)+y\sin(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha-\beta)=0,$$因此点$F(0,2)$到直线$AB$的距离为$$\dfrac{2|\sin(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)|}{\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)}}=\dfrac 14|FA|\cdot |FB|=1,$$为定值,于是定圆$F:x^2+(y-2)^2=1$与动直线$AB$恒相切.

法二 几何性质
设$\angle AFB=\theta$,$FH\perp AB$于$H$,如图:
屏幕快照 2016-08-05 上午10.04.57则$|AB|=2r\sin\dfrac {\angle AOB}2=4\sin\theta$,其中$r=2$为圆$O$的半径,于是$\triangle FAB$的面积$$S_{\triangle AFB}=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |FH|=2\sin\theta\cdot |FH|,$$同时亦有$$S_{\triangle AFB}=\dfrac 12\cdot \sin\theta\cdot |FA|\cdot |FB|=2\sin\theta,$$因此$|FH|=1$为定值,于是定圆$F:x^2+(y-2)^2=1$与动直线$AB$恒相切.

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