编者按 本文作者我爱数学，原标题《证明与求解》，由meiyun编辑整理．
已知\(f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+b-a\)（\(a,b\in\mathcal{R}\)，且\(a,b\)不同时为\(0\)）．
(1)当\(a=\dfrac{1}{3}\)时，若\(f(x)>-\dfrac{1}{3}\)对\(\forall x\in\mathcal{R}\)恒成立，求\(b\)的范围；
(2)求证：\(f(x)\)在\((-1,0)\)内至少有一个零点．
将一堆小球（数量不小于$2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含$n$个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_3$；依次进行下去，直到最后得到$n$堆小球（每堆的小球数量均为$1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$是一个与分堆的具体过程无关的定值．
在圆$x^2+y^2=25$上有一点$P(4,3)$，点$E,F$是$y$轴上两点，且满足$|PE|=|PF|$，直线$PE,PF$与圆交于$C,D$，则直线$CD$的斜率是_____．
数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=r\cdot a_n+r$（$n\in\mathcal {N}^*$，$r\in\mathcal {R}$且$r\ne 0$），则“$r=1$”是“数列$\{a_n\}$成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
在平面直角坐标系中，已知点$F(3,0)$在圆$C:(x-m)^2+(y-2)^2=40$内，动直线$AB$过点$F$且交圆于$A,B$两点，若$\triangle ABC$的面积的最大值为$20$，则实数$m$的取值范围是_______．
已知无穷数列$\{x_n\}$的首项$x_1=\dfrac 12$，递推公式为$$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{x_n^2+1},n\in\mathcal N^*,$$求证：$$\dfrac{(x_1-x_2)^2}{x_1x_2}+\dfrac{(x_2-x_3)^2}{x_2x_3}+\cdots +\dfrac{(x_{n}-x_{n+1})^2}{x_nx_{n+1}}<\dfrac{5}{16}.$$
编者按 本文作者我爱数学，由meiyun编辑，有较大改动．
若$\alpha,\beta,\gamma$是任意实数，求$$\sqrt{|\sin\alpha-\sin\beta|}+\sqrt{|\sin\beta-\sin\gamma|}+\sqrt{|\sin\gamma-\sin\alpha|}$$的最大值．
在费罗迪写的《合伙人》一书中提出了“人才错误评估率”：
我们都听过黑猩猩、儿童、猫以及蒙眼的飞镖选手选择股票并轻易超过专业资金管理者的故事．在最近的一项研究中，伦敦城市大学卡斯商学院的研究人员对1000万组“猴子”指数基金（即电脑随机创造和加权的基金）和市值加权指数基金（即投资专家们推荐的积极管理基金）作了对比，他们发现每次都是猴子基金获胜．
遗憾的是，大多数人在人才挑选方面比猴子也强不了多少．如果通过计算面试官对求职者的评估和求职者被录取后的绩效之间的关联度来估算面试官的成功率，你会得到一个很大的数值范围．假如全知．公正并且向来诚实的上帝的相关系数最大，是1.0，这说明他100%是正确的．那么，最好的专业面试官（我称之为“副神”）大约是0.7，他们的评估70%是正确的．但大多数人是0.3， 只有30%是正确的，而最差专业面试官的评估与绩效之间是负相关的．如果你知道面试官无法胜任，肯定不会采纳他们的建议，而会反其道而行之．
此外，当谈及优秀人才的挑选时，即使你比副神还厉害，成功的几率还是很小．我常常通过一个逻辑推理问题来解释这一点．假设你只想雇佣那些绩效在所有同职业者中居于前10%的人，同时我们再假设你的正确率高达90%．这意味着当你认为某人位于前10%时，10次中你有9次都是正确的；同样，当你认为某人不在前10%中时，10次中有9次你也能做出正确的判断．现在假设在整个职业生涯中，你评估了100位求职者，你的评估结果错误率是多少？
书中给出了答案，并且进行了图形解释．在这里我利用条件概率的模型再次解释一下：
数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，若$\{a_n\}$的前$30$项和$S_{30}=663$，则$a_1=$_____．
