正弦值最大的四位数

问题来自于我的一个朋友推荐的游戏:每个人写一个四位正整数,正弦值最大的人赢.


解决问题的关键是寻找最接近$\dfrac{\pi}2$的$4k+1$($k\in\mathcal N^*$)倍的四位数.

首先,利用连分数$$\dfrac{\pi}2=[1;1,1,3,31,1,145,\ldots]$$得到一个$\dfrac{\pi}2$的分数近似$\dfrac pq$,其中分子$p$不超过四位数,分母$q$模$4$余$1$,经过计算得到$\dfrac{699}{445}$符合要求.

接下来,利用密率$\pi\approx\dfrac{355}{113}$可得$226\pi\approx 710$,因此得到四位数$699+710=1409$,这个四位数的正弦值为$$\sin 1409=0.9999907939205\ldots,$$此结果已经非常好了.

但是问题没有结束,注意到$\dfrac{699}{445}$比$\dfrac{\pi}2$略小,而$\dfrac{355}{113}$比$\pi$略大,因此可以不停的追加$710$,使得四位数更靠近$\dfrac{\pi}2$的$4k+1$($k\in\mathcal N^*$)倍.受限于四位数,我们得到$$699+710\times 13=9929,$$这个四位数的正弦值为$$\sin 9929=0.9999935858249\ldots,$$这个结果是用该方案得到的最好结果了.

经过编程验证,四位数$9929$的确是四位数中正弦值最大的,这对我而言无疑是一个惊喜:)

   关于追加$710$:

第一,实际上是需要验算的,因为怕加爆了(玩过凑21点的扑克牌游戏吧).

第二,听说原版是计算正切值,这样一来如果不让验算,那么写出$1409$以后,是不敢追加$710$的.因为和正弦不同,正弦的情况下爆了就爆了,损失不大;正切的情况下爆了就亏大了!

第三,经过验算,正弦值最大的四位数的确就是正切最大的四位数.

第四,这个问题最有趣的部分就在于最后追加$710$的那种贪心不足又怕从天堂坠入地狱的矛盾心态.

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