平面直角坐标系$xOy$中，点$A,B,C$的坐标分别为$(a,0),(0,a),(3,4)$，点$P(x,y)$是平面内的任意一点，记$M(a)=\max\{|PA|,|PB|,|PC|\}$，则$M(a)$的最小值是______．
分析与解 先探究对于任意确定的三点，$M(a)$的最小值：
当$A,B,C$三点构成锐角或直角三角形时，$M(a)$的最小值为$\triangle ABC$的外接圆半径$r$．原因如下：
因为此时外心$D$在三角形内部（包括边界上），而任一点$P$必在$$\triangle DAB,\triangle DAC,\triangle DBC$$的其中一个三角形（包括边界）中，此时分别有$DC,DB,DA$大于等于$r$，从而有$M(a)\geqslant r$．
当$A,B,C$构成钝角三角形或共线时，$M(a)$的最小值为$\dfrac 12\max\{|AB|,|BC|,|CA|\}$．原因如下：
不妨设$A$为钝角或直角，此时$$M(a)\geqslant \dfrac 12(|PB|+|PC|)\geqslant \dfrac 12|BC|,$$当且仅当$P$为$BC$中点时取到等号．如图：
注意，始终有外接圆半径$r\geqslant \dfrac 12\max\{|AB|,|BC|,|CA|\}$．
回到本题 因为$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BA}=a^2-a$，所以下面根据$a$的大小进行分类：
情形一 $a\in [0,1]$．此时$B$为钝角或直角，所以$$M(a)\geqslant\dfrac 12|AC|\geqslant \dfrac 12\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt 5.$$
情形二 $a\in (1,3]$．此时设外心坐标$D(m,m)$，则由线段$AC$的垂直平分线方程$$y=\dfrac{a-3}4\left(x-\dfrac{a+3}2\right)+2$$可得$$m=\dfrac{25-a^2}{14-2a}=7-\left(\dfrac{7-a}2+\dfrac{12}{7-a}\right)\leqslant 7-2\sqrt 6,$$等号当且仅当$a=7-2\sqrt 6$时取得． 
此时$\triangle ABC$外接圆的半径最小，为$7-2\sqrt 6$．
情形三 $a\in (3,+\infty)$．此时$$M(a)\geqslant \dfrac 12|AB|>\dfrac{3\sqrt 2}2>7-2\sqrt 6.$$
情形四 $a\in (-\infty,0)$．此时$$M(a)\geqslant \dfrac 12|AC|>\dfrac 52>7-2\sqrt 6.$$
因为$\sqrt 5>7-2\sqrt 6$，所以$M(a)$的最小值为$7-2\sqrt 6$．