每日一题[628]复数方程

设$a\geqslant 0$,在复数集$\mathcal C$中解方程:$z^2+2|z|=a$.


cover分析与解 设$z=r(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta)$($r\geqslant 0,\theta\in [0,2\pi)$),则$$r^2(\cos 2\theta+{\rm i}\sin 2\theta)+2r=a,$$于是$$\begin{cases} r^2\cos 2\theta+2r=a,\\ r^2\sin 2\theta=0,\end{cases} $$情形一 $r=0$.

此时$z=0$,对应$a=0$.

情形二 $\theta=0,\pi$.

此时$r^2+2r=a$,解得$r=\sqrt{a+1}-1$.

情形三 $\theta=\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2$.

此时$-r^2+2r=a$,解得$r=1\pm \sqrt{1-a}$($0\leqslant a\leqslant 1$).

综上所述,原方程的解为$$\begin{cases} 0,\pm 2{\rm i},& a=0,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),(1\pm\sqrt{1-a}){\rm i},-(1\pm\sqrt{1-a}){\rm i},&0<a<1,\\
\pm(\sqrt 2-1),\pm {\rm i},&a=1,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),&a>1.\end{cases} $$

说明 本题也可以由$z^2=a-2|z|\in\mathcal{R}$得到$z$为实数或纯虚数,从而求解.需要注意的是$a$的范围不同时,解的个数不同,所以需要分类.

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