论证与构造

给定正整数$n$,正六边形的六个顶点处各写有一个非负整数,其和为$n$.现在可以进行如下操作:擦掉一个顶点上的数,然后写上相邻两个顶点上的数的差的绝对值.求所有的$n$,使得无论开始时写有哪些整数,都可以进行一系列操作,使得每个顶点上的数都是$0$.


分析与解 若六个数的奇偶性按顺时针顺序依次为偶,奇,奇 ,偶,奇,奇,则无论怎样操作,这六个数的奇偶性都不会变,故不能通过一系列操作使得每个顶点上的数都是$0$,因此所有不小于$4$的偶数都不满足题目条件,下面证明其它数都满足题目条件.

当$n=2$时,所有数最多有$2$个$1$或者$1$个$2$,分类讨论易知一定能变成全$0$.

下面仅考虑$n$是奇数的情况,我们证明更强的命题:只要初始六个数的奇偶性不是偶,奇,奇,偶,奇,奇(或者其轮换形式),也不全为偶数,那么一定能通过有限次操作使得所有数都变成$0$.

对其中最大的数进行归纳,最大数为$1$时枚举易知结论一定成立.

假设最大数小于$k$时命题成立,考虑最大数等于$k$的情况.事实上,我们只需要证明可以通过一系列操作,使得等于$k$的数的个数减少(每次只要减少,数次以后一定变成所有数都小于$k$),而且六个数的奇偶性不是偶,奇,奇,偶,奇,奇(或者其轮换形式),也不是全为偶数即可.

不妨设六个数顺次为$a_1,a_2,\cdots ,a_6$,且$a_1=k$,由于可将$a_1$换成$\left|a_2-a_6\right|$,所以只需要讨论一下两种情况.

情况1 $\left|a_2-a_6\right|=k$,由于$0\leqslant a_2,a_6\leqslant k$,由对称性不妨设$a_2=k$,$a_6=0$.

(1.1) 若$a_3\ne 0$,则将$a_2$换成$|a_1-a_3|<k$,注意到若$a_1,|a_1-a_3|,a_3,a_4,a_5,a_6$的奇偶性为偶,奇,奇,偶,奇,奇(或者其轮换形式)或全偶数,则由$a_6=0$知$a_3$为偶数,且$a_1,|a_1-a_3|,a_4,a_5$奇偶性相同,这说明$a_1,a_2,a_4,a_5$奇偶性相同($a_1=a_2$),即$a_1,a_2,\cdots ,a_6$也是偶,奇,奇,偶,奇,奇(或者其轮换形式)或全偶数,矛盾.故可以将$a_2$换成$|a_1-a_3|<k$,等于$k$的数的个数减少一个.

(1.2) 若$a_3=0$,易知$a_4,a_5$不能与$k$奇偶性相同(否则奇偶性有问题),不妨设$a_4$与$k$奇偶性不同,则先将$a_3$换成$a_2-a_4=k-a_4$,再将$a_2$换成$a_1-(k-a_4)=a_4$,最后将$a_3$换成$a_4-a_4=0$,此时等于$k$的数的个数减少一个,且$a_1,a_4$奇偶性不同,不会有奇偶性的问题.

情况2 $|a_2-a_6|,a_2,\cdots ,a_6$的奇偶性恰为偶,奇,奇,偶,奇,奇(或者其轮换形式)或全偶数,但$a_1,a_2,\cdots ,a_6$的奇偶性不是这样.由对称性分三种情况.

(2.1) $a_1,a_2,a_3,a_5,a_6$都是奇数,$a_4$是偶数.若$a_2,a_3,a_5,a_6$中有等于$k$的,考虑将这个$k$换成周围两个数之差的绝对值,则不会出现情况2,化归为普通情况或情况1,可以解决.若$a_2,a_3,a_5,a_6$都不等于$k$,则先将$a_2$换为$k-a_3$,再将$a_1$换成$|k-a_3-a_6|$即可.

(2.2) $a_1,a_2,a_5$是偶数,$a_3,a_4,a_6$是奇数.先将$a_2$换为$k-a_3$,再将$a_1$换成$|k-a_3-a_6|$即可.

(2.3) $a_1$是奇数,$a_2,a_3,a_4,a_5,a_5$都是偶数.若$a_3\ne 0$,则先将$a_2$换为$k-a_3$,再将$a_1$换成$|k-a_3-a_6|$即可;同理,若$a_5\ne 0$,也可以操作.若$a_3=a_5=0$,则可以将$a_2,a_6$都换成$k$,再将$a_1$换成$0$,最后将$a_2,a_4,a_6$都换成$0$即可.

综上所述,满足题目条件的$n$为所有正奇数及$2$.

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