Math173

若函数$f(x)=2{\rm e}^x-ax^2+(a-2{\rm e})x$有三个不同的零点，则实数$a$的取值范围是________．

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2011年广东卷高考数学理科第21题（压轴题）：

在平面直角坐标系$xOy$上，给定抛物线$L:y=\dfrac 14x^2$．实数$p,q$满足$p^2-4q\geqslant 0$，$x_1,x_2$是方程$x^2-px+q=0$的两根，记$\varphi(p,q)=\max\{|x_1|,|x_2|\}$．
(1) 过点$A\left(p_0,\dfrac 14p_0^2\right)$($p_0\neq 0$)作$L$的切线交$y$轴于点$B$．证明：对线段$AB$上的任一点$Q(p,q)$，有$\varphi(p,q)=\dfrac 12|p_0|$；
(2) 设$M(a,b)$是定点，其中$a,b$满足$a^2-4b>0$，$a\neq 0$．过$M(a,b)$作$L$的两条切线$l_1,l_2$，切点分别为$E\left(p_1,\dfrac 14p_1^2\right)$，$E'\left(p_2,\dfrac 14p_2^2\right)$，$l_1,l_2$与$y$轴分别交于$F,F'$．线段$EF$上异于两端点的点集记为$X$．证明：$M(a,b)\in X\Leftrightarrow |p_1|>|p_2|\Leftrightarrow \varphi(a,b)=\dfrac 12|p_1|$；
(3) 记$D=\left\{(x,y)\mid y\leqslant x-1,y\geqslant \dfrac 14(x+1)^2-\dfrac 54\right\}$，当$(p,q)$取遍$D$时，求$\varphi(p,q)$的最小值(记为$\varphi_{\min}$)和最大值(记为$\varphi_{\max}$)．

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2011年高考天津卷理科数学第20题（压轴题）：

设数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足：$b_na_n+a_{n+1}+b_{n+1}a_{n+2}=0$，$b_n=\dfrac{3+(-1)^n}2$，$n\in\mathcal N^*$，且$a_1=2$，$a_2=4$．
(1) 求$a_3,a_4,a_5$的值；
(2) 设$c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1}$，$n\in\mathcal N^*$，求证：$\{c_n\}$是等比数列；
(3) 设$S_k=a_2+a_4+\cdots +a_{2k}$，$k\in\mathcal N^*$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{4n}\dfrac{S_k}{a_k}<\dfrac 76$($n\in\mathcal N^*$)．

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2011年高考北京卷理科数学第8题：

设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(t+4,4)$，$D(t,4)$($t\in\mathcal R$)．记$N(t)$为平行四边形$ABCD$内部(不包含边界)的整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则函数$N(t)$的值域是________．

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2012年北京市海淀区高考二模理科数学第20题（压轴题）：

将一个正整数表示为$a_1+a_2+\cdots +a_p$($p\in\mathcal N^*$)的形式，其中$a_i\in\mathcal N^*$($i=1,2,\cdots ,p$)，且$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_p$，记所有的这种表示法的种数为$f(n)$(如$4=4$，$4=1+3$，$4=2+2$，$4=1+1+2$，$4=1+1+1+1$，故$f(4)=5$)．
(1) 计算$f(3)$，$f(5)$；
(2) 求证：$2f(n+1)\leqslant f(n)+f(n+2)$，其中$n\in\mathcal N^*$；
(3) 当$n\geqslant 6$且$n\in\mathcal N^*$时，求证：$f(n)\geqslant 4n-13$．

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设动直线$y=kx+m(k,m\in\mathcal{Z})$与椭圆$\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$A,B$，与双曲线$\dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$C,D$，且$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {0}$，则符合条件的直线共有______条．

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正整数数列$\{a_n\}$满足对任意正整数$n$，均有$a_{a_n}+a_n=2n$，求$a_n$．

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已知抛物线$y^2=2px$的内接$\triangle ABC$的三条边所在的直线均与抛物线$x^2=2py$相切，求证：$A,B,C$三点的纵坐标之和为$0$．

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(2013年海淀高三期末)已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，动点$P$在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$表面上运动，且$PA=r$($0<r<\sqrt 3$)．记点$P$的轨迹的长度为$f(r)$．
(1) 求$f\left(\dfrac 12\right)$；
(2) 求出关于$r$的方程$f(r)=k$的解的个数的所有可能的值，并说明理由．

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